d行列の要素の一覧
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/11 15:02 UTC 版)
「ウィグナーのD行列」の記事における「d行列の要素の一覧」の解説
ウィグナーらによる符号規約を用いると、j = 1/2, 1, 3/2, 2におけるd行列の要素 d m ′ m j ( θ ) {\displaystyle d_{m'm}^{j}(\theta )} は以下のように与えられる。 j = 1/2の場合、 d 1 2 , 1 2 1 2 = cos θ 2 d 1 2 , − 1 2 1 2 = − sin θ 2 {\displaystyle {\begin{aligned}d_{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}}^{\frac {1}{2}}&=\cos {\frac {\theta }{2}}\\[6pt]d_{{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}}^{\frac {1}{2}}&=-\sin {\frac {\theta }{2}}\end{aligned}}} j = 1の場合、 d 1 , 1 1 = 1 2 ( 1 + cos θ ) d 1 , 0 1 = − 1 2 sin θ d 1 , − 1 1 = 1 2 ( 1 − cos θ ) d 0 , 0 1 = cos θ {\displaystyle {\begin{aligned}d_{1,1}^{1}&={\frac {1}{2}}(1+\cos \theta )\\[6pt]d_{1,0}^{1}&=-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\sin \theta \\[6pt]d_{1,-1}^{1}&={\frac {1}{2}}(1-\cos \theta )\\[6pt]d_{0,0}^{1}&=\cos \theta \end{aligned}}} j = 3/2の場合、 d 3 2 , 3 2 3 2 = 1 2 ( 1 + cos θ ) cos θ 2 d 3 2 , 1 2 3 2 = − 3 2 ( 1 + cos θ ) sin θ 2 d 3 2 , − 1 2 3 2 = 3 2 ( 1 − cos θ ) cos θ 2 d 3 2 , − 3 2 3 2 = − 1 2 ( 1 − cos θ ) sin θ 2 d 1 2 , 1 2 3 2 = 1 2 ( 3 cos θ − 1 ) cos θ 2 d 1 2 , − 1 2 3 2 = − 1 2 ( 3 cos θ + 1 ) sin θ 2 {\displaystyle {\begin{aligned}d_{{\frac {3}{2}},{\frac {3}{2}}}^{\frac {3}{2}}&={\frac {1}{2}}(1+\cos \theta )\cos {\frac {\theta }{2}}\\[6pt]d_{{\frac {3}{2}},{\frac {1}{2}}}^{\frac {3}{2}}&=-{\frac {\sqrt {3}}{2}}(1+\cos \theta )\sin {\frac {\theta }{2}}\\[6pt]d_{{\frac {3}{2}},-{\frac {1}{2}}}^{\frac {3}{2}}&={\frac {\sqrt {3}}{2}}(1-\cos \theta )\cos {\frac {\theta }{2}}\\[6pt]d_{{\frac {3}{2}},-{\frac {3}{2}}}^{\frac {3}{2}}&=-{\frac {1}{2}}(1-\cos \theta )\sin {\frac {\theta }{2}}\\[6pt]d_{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}}^{\frac {3}{2}}&={\frac {1}{2}}(3\cos \theta -1)\cos {\frac {\theta }{2}}\\[6pt]d_{{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}}^{\frac {3}{2}}&=-{\frac {1}{2}}(3\cos \theta +1)\sin {\frac {\theta }{2}}\end{aligned}}} j = 2の場合、 d 2 , 2 2 = 1 4 ( 1 + cos θ ) 2 d 2 , 1 2 = − 1 2 sin θ ( 1 + cos θ ) d 2 , 0 2 = 3 8 sin 2 θ d 2 , − 1 2 = − 1 2 sin θ ( 1 − cos θ ) d 2 , − 2 2 = 1 4 ( 1 − cos θ ) 2 d 1 , 1 2 = 1 2 ( 2 cos 2 θ + cos θ − 1 ) d 1 , 0 2 = − 3 8 sin 2 θ d 1 , − 1 2 = 1 2 ( − 2 cos 2 θ + cos θ + 1 ) d 0 , 0 2 = 1 2 ( 3 cos 2 θ − 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}d_{2,2}^{2}&={\frac {1}{4}}\left(1+\cos \theta \right)^{2}\\[6pt]d_{2,1}^{2}&=-{\frac {1}{2}}\sin \theta \left(1+\cos \theta \right)\\[6pt]d_{2,0}^{2}&={\sqrt {\frac {3}{8}}}\sin ^{2}\theta \\[6pt]d_{2,-1}^{2}&=-{\frac {1}{2}}\sin \theta \left(1-\cos \theta \right)\\[6pt]d_{2,-2}^{2}&={\frac {1}{4}}\left(1-\cos \theta \right)^{2}\\[6pt]d_{1,1}^{2}&={\frac {1}{2}}\left(2\cos ^{2}\theta +\cos \theta -1\right)\\[6pt]d_{1,0}^{2}&=-{\sqrt {\frac {3}{8}}}\sin 2\theta \\[6pt]d_{1,-1}^{2}&={\frac {1}{2}}\left(-2\cos ^{2}\theta +\cos \theta +1\right)\\[6pt]d_{0,0}^{2}&={\frac {1}{2}}\left(3\cos ^{2}\theta -1\right)\end{aligned}}} ウィグナーのd行列の下付き添字の交換については、以下の関係式がなりたつ。 d m ′ , m j = ( − 1 ) m − m ′ d m , m ′ j = d − m , − m ′ j {\displaystyle d_{m',m}^{j}=(-1)^{m-m'}d_{m,m'}^{j}=d_{-m,-m'}^{j}}
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