Schlömilchの一般化
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/07/13 05:57 UTC 版)
「コーシーの凝集判定法」の記事における「Schlömilchの一般化」の解説
u(n) を真に増大する正整数の列で、連続する差分の比が有界である、つまりある正の実数 N があって Δ u ( n ) Δ u ( n − 1 ) = u ( n + 1 ) − u ( n ) u ( n ) − u ( n − 1 ) < N for all n {\displaystyle {\Delta u(n) \over \Delta u(n{-}1)}\ =\ {u(n{+}1)-u(n) \over u(n)-u(n{-}1)}\ <\ N\ \ {\text{for all }}n} が成り立つものとする。このとき、 f ( n ) {\displaystyle f(n)} がコーシーの凝集判定法のものと同じ前提条件を満たすなら、級数 ∑ n = 1 ∞ f ( n ) {\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }f(n)} が収束することと級数 ∑ n = 0 ∞ Δ u ( n ) f ( u ( n ) ) = ∑ n = 0 ∞ ( u ( n + 1 ) − u ( n ) ) f ( u ( n ) ) {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\Delta u(n)}\,f(u(n))\ =\ \sum _{n=0}^{\infty }{\Big (}u(n{+}1)-u(n){\Big )}f(u(n))} が収束することが同値になる。 u ( n ) = 2 n {\displaystyle \textstyle u(n)=2^{n}} ととれば Δ u ( n ) = u ( n + 1 ) − u ( n ) = 2 n {\displaystyle \textstyle \Delta u(n)=u(n{+}1)-u(n)=2^{n}} だから、この命題はコーシーの凝集判定法を特別な場合として含んでいる。
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