パップスの六角形定理

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パップスの六角形定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/10/06 08:24 UTC 版)

パップスの六角形定理:六角形AbCaBcに対して、点X,Y,Zが共線である（パップス線）。

アフィン形式のパップスの定理

${\displaystyle Ab\parallel aB,Bc\parallel bC\Rightarrow Ac\parallel aC}$

パップスの定理の証明

アフィン形式で、ある座標設定でのパップスの定理が証明されれば、それを適当に射影することで、一般のパップスの定理を証明できる。

アフィン平面（英語版）では${\displaystyle g\not \parallel h}$

アフィン形式の小定理で得る点${\displaystyle U}$

トムセンの図形（三角形${\displaystyle PQR}$

証明に用いる図

パップスの定理の他の主張

△XcC,△BbYは${\displaystyle A,a,Z}$

3つの共点線AB,AG,ADがあって、JB,JEがJで交わっている。またKLはAZと平行である。このとき

KJ : JL :: (KJ : AG & AG : JL) :: (JD : GD & BG : JB).

である。これらは今日、等式として次の様に表される^[14]。

KJ/JL = (KJ/AG)(AG/JL) = (JD/GD)(BG/JB).

最右辺 ( JD : GD と BG : JBの積) は、共線点J, G, D, Bに対して複比として知られるもので、(J, G; D, B)とも書かれる。つまりAで交わる3線のうち、JDの取り方は複比と無関係であることが示された。

(J, G; D, B) = (J, Z; H, E).

直線JEがAを通るどの辺（直線）にあたるかは重要ではない。特に図を変えれば、以下の様になることもある（補題X） 。

先述のように(J, G; D, B) = (J, Z; H, E)である。パップスはこれを証明しなかったが、 補題Xはこの構図の逆「2つの複比が等しく図の様にBE,DHがAで交わるとすれば、点G,A,Zは共線である」を表している。

JK,AGが交わらない場合は複比を (J, ∞; K, L) = (J, G; D, B)の様に書くことができる。パップスはこれを補題XIで示している。

当時の記法ではDE.ZH : EZ.HD :: GB : BEとなるが、これは

(D, Z; E, H) = (∞, B; E, G).

という表現に等しい。

次の図は補題XIIである。

この図は補題XIIIと意味する所は同じだがBA,DGが辺の延長にある点Nで交わっている。どのような場合でも、Gを通る直線がAを通る直線と交わっているとすれば (そして複比の不変性を利用すれば）、補題IIIとXIを次のように得る。

(G, J; E, H) = (G, D; ∞ Z).

Dを通る直線がBを通る直線と交わっているとすれば、

(L, D; E, K) = (G, D; ∞ Z).

を得る。したがって(E, H; J, G) = (E, K; D, L)である。また補題Xより、H,M,Kは共線である。これは、六角形ADEGBZの主対角線の交点の共線を表している。

補題XVとXVIIは、直線HK,BGの交点をMとして、A,M,Gの共線を示している。これは六角形BEKHZGの主対角線の交点の共線を示している。

関連項目

• メネラウスの定理
• デザルグの定理
• ブリアンションの定理

出典

1. ^ 細川藤右衛門『射影幾何学』岩波書店、1943年、89頁。doi:10.11501/1063403。 
2. ^ 『近世幾何学 (帝国百科全書 ; 第179編)』藤田外次郎、1908年、150頁。doi:10.11501/828609。 
3. ^ ^{a b} Coxeter 1969, pp. 236–7
4. ^ Rolf Lingenberg: Grundlagen der Geometrie, BI-Taschenbuch, 1969, p. 93
5. ^ ただし、${\displaystyle ABC}$