区間演算
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区間演算（くかんえんざん、英: Interval arithmetic、独: Intervall arithmetik）（あるいはそれを用いた区間解析(interval analysis)）は数学者たちによって1950年代から1960年代にかけて作られた手法であり、数学的計算における丸め誤差と測定誤差に対して評価を行い信頼できる結果をもたらす数値的な手法を開発するものである[1]。簡単に言うと、すべての値をとりうる数値の範囲で表現するのである。例えば、人の身長を通常の計算で2メートルと表わす代わりに、1.97メートルから2.03メートルの範囲であると表すのである。
この概念は様々な用途がある。主な使用方法は計算途中の丸め誤差を把握することである。区間演算は最適化問題や微分方程式の信頼できる求解を助けるという役割もある[1]。
数学的に表現すると、不確かな実数xについて扱う代わりに、xを含む区間[a, b]を扱う。xを代入した関数fの値も不明である。区間演算において関数fは区間[c, d]を生成する。[c, d]は[a, b]内にある全てのxについてf(x)が取りうる値を表す[1]。
導入
区間演算の主な目的は与えられた関数の値域の上界と下界を簡単に計算することである[1]。端点は上限、下限とは限らない。なぜならば端点の具体的計算は困難もしくは不可能な場合があるからだ。伝統的な実数の計算と同様に、四則演算と区間値の関数が定義されなければならない[2]。より複雑な関数もこれに基づいて計算される[2]。
演算の定義
区間演算では四則演算を以下のようにして行う[1]：
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