フルヴィッツの定理 (数論)

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フルヴィッツの定理 (数論)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/06/10 17:30 UTC 版)

数論において，フルヴィッツの定理（英: Hurwitz's theorem）とは，アドルフ・フルヴィッツ (Adolf Hurwitz) の名に因んだ定理で，ディオファントス近似の上界を与える．定理の主張は以下である．任意の無理数 ξ に対し，互いに素な整数 m, n であって

$\left|\xi -{\frac {m}{n}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {5}}\,n^{2}}}$

となるものが無限個存在する．ξ が無理数であるという仮定を外すことは出来ない．さらに，定数 √5 は最良のものである．もし √5 を別の任意の数 A > √5 に置き換え， $\xi =(1+{\sqrt {5}})/2$（黄金比）とおくと，上の不等式が成り立つような互いに素な整数 m, n は有限個しか存在しない．

この定理は任意の無理数のマルコフ定数が√5より大きいことを意味している。

参考文献

• Hurwitz, A. (1891). “Ueber die angenäherte Darstellung der Irrationalzahlen durch rationale Brüche (On the approximate representation of irrational numbers by rational fractions)” (German). Mathematische Annalen 39 (2): 279–284. doi:10.1007/BF01206656. JFM 23.0222.02. (note: a PDF version of the paper is available from the given weblink for the volume 39 of the journal, provided by Göttinger Digitalisierungszentrum)
• G. H. Hardy, Edward M. Wright, Roger Heath-Brown, Joseph Silverman, Andrew Wiles (2008). “Theorem 193”. An introduction to the Theory of Numbers (6th ed.). Oxford science publications. p. 209. ISBN 0-19-921986-9 
• LeVeque, William Judson (1956). Topics in number theory. Addison-Wesley Publishing Co., Inc., Reading, Mass.. MR 0080682 
• Ivan Niven (2013). Diophantine Approximations. Courier Corporation. ISBN 0486462676