ハルトークス数

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ハルトークス数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/02/06 15:03 UTC 版)

数学の、特に公理的集合論におけるハルトークス数（ハルトークスすう、英: Hartogs number）とは、ある種の基数のことを言う。1915年にフリードリヒ・ハルトークスによって、ある整列順序付けられた基数が与えられたとき、それよりも大きい最小の整列順序付けられた基数が存在することが示されたが、これには ZF-公理系のみが用いられ、したがって選択公理は用いられなかった。

ある集合のハルトークス数を定義する上で、その集合が整列可能である必要はない。すなわち、任意の集合 X のハルトークス数は、α から X への単射が存在しないような最小の順序数 α で定義される。X が整列可能でないなら、その α が X の基数よりも「大きい」最小の整列順序付けられた基数であると言う必要はなく、「小さくも等しくもない」と言えばよい。X から α への写像はしばしばハルトークスの函数（Hartogs' function）と呼ばれる。

証明

集合論のいくつかの基本定理の下で、証明は簡単に出来る。今 ${\displaystyle \alpha =\{\beta \in {\textrm {Ord}}|\exists i:\beta \hookrightarrow X\}}$ この項目は、集合論に関連した書きかけの項目です。この項目を加筆・訂正などしてくださる協力者を求めています（プロジェクト:数学／Portal:数学）。