G.H.Hardy と E.M.Wright の証明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/06 13:44 UTC 版)
「円周率の無理性の証明」の記事における「G.H.Hardy と E.M.Wright の証明」の解説
正の整数をnとし、cmを整数とするとき f ( x ) = x n ( 1 − x ) n n ! = 1 n ! ∑ m = n 2 n c m x m {\displaystyle f(x)={\frac {x^{n}(1-x)^{n}}{n!}}={\frac {1}{n!}}\sum _{m=n}^{2n}c_{m}x^{m}} とする。0<x<1において 0 < f ( x ) < 1 n ! {\displaystyle 0<f(x)<{\frac {1}{n!}}} となる。…(1) πが有理数であると仮定し、 π 2 = a b {\displaystyle \pi ^{2}={\tfrac {a}{b}}} （a,bは正の整数）とする。 G ( x ) = b n ∑ k = 0 n ( − 1 ) k π 2 n − 2 k f ( 2 k ) ( x ) {\displaystyle G(x)=b^{n}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\pi ^{2n-2k}f^{(2k)}(x)} とする。m<nまたは2n<mのとき f ( m ) ( 0 ) = 0 {\displaystyle f^{(m)}(0)=0} である。n≦m≦2nのとき f ( m ) ( 0 ) = m ! c m n ! = m ( m − 1 ) ⋅ ⋅ ⋅ ( n + 1 ) c m {\displaystyle f^{(m)}(0)={\tfrac {m!c_{m}}{n!}}=m(m-1)\cdot \cdot \cdot (n+1)c_{m}} なので、整数である。それゆえ、任意のmに対して f ( m ) ( 0 ) {\displaystyle f^{(m)}(0)} は整数である。したがってG(0)は整数である。 f(x)=f(1-x)なので両辺を微分することにより f ′ ( x ) = − f ′ ( 1 − x ) {\displaystyle f'(x)=-f'(1-x)} f ″ ( x ) = f ″ ( 1 − x ) {\displaystyle f''(x)=f''(1-x)} ⋅ ⋅ ⋅ {\displaystyle \cdot \cdot \cdot } である。一般に f ( m ) ( x ) = f ( m ) ( 1 − x ) {\displaystyle f^{(m)}(x)=f^{(m)}(1-x)} のとき f ( m + 1 ) ( x ) = − f ( m + 1 ) ( 1 − x ) {\displaystyle f^{(m+1)}(x)=-f^{(m+1)}(1-x)} f ( m + 2 ) ( x ) = f ( m + 2 ) ( 1 − x ) {\displaystyle f^{(m+2)}(x)=f^{(m+2)}(1-x)} . すなわち f ( m ) ( x ) = ( − 1 ) m f ( m ) ( 1 − x ) {\displaystyle f^{(m)}(x)=(-1)^{m}f^{(m)}(1-x)} である。よって f ( 2 m ) ( x ) = f ( 2 m ) ( 1 − x ) {\displaystyle f^{(2m)}(x)=f^{(2m)}(1-x)} なので G ( 1 − x ) = b n ∑ k = 0 n ( − 1 ) k π 2 n − 2 k f ( 2 k ) ( 1 − x ) = b n ∑ k = 0 n ( − 1 ) k π 2 n − 2 k f ( 2 k ) ( x ) = G ( x ) . {\displaystyle {\begin{aligned}G(1-x)&=b^{n}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\pi ^{2n-2k}f^{(2k)}(1-x)\\&=b^{n}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\pi ^{2n-2k}f^{(2k)}(x)\\&=G(x).\end{aligned}}} G(0)=G(1)なのでG(1)も整数である。また ( G ′ ( x ) sin π x − π G ( x ) cos π x ) ′ = ( G ″ ( x ) + π 2 G ( x ) ) sin π x = b n π 2 n + 2 f ( x ) sin π x = π 2 a n sin π x f ( x ) {\displaystyle {\begin{aligned}(G'(x)\sin \pi x-\pi G(x)\cos \pi x)'&=(G''(x)+\pi ^{2}G(x))\sin \pi x\\&=b^{n}\pi ^{2n+2}f(x)\sin \pi x\\&=\pi ^{2}a^{n}\sin \pi xf(x)\\\end{aligned}}} となる。さらに π ∫ 0 1 a n sin π x f ( x ) d x = G ′ ( x ) sin π x π − G ( x ) cos π x | 0 1 = G ( 0 ) + G ( 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\pi \int \limits _{0}^{1}a^{n}\sin \pi xf(x)\,dx&={{\tfrac {G'(x)\sin \pi x}{\pi }}-G(x)\cos \pi x{\Bigg \vert }\,}_{0}^{1}\\&=G(0)+G(1)\\\end{aligned}}} となり、これは整数である。(1)より十分にnが大きいとき 0 < π ∫ 0 1 a n sin π x f ( x ) d x < π a n n ! < 1 {\displaystyle 0<\pi \int \limits _{0}^{1}a^{n}\sin \pi xf(x)\,dx<{\tfrac {\pi a^{n}}{n!}}<1} となる。これは矛盾である。
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