Finitely generated module

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有限生成加群

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/03/16 17:40 UTC 版)

数学において、有限生成加群（ゆうげんせいせいかぐん、英: finitely generated module）とは、有限な生成集合をもつ加群のことである。有限生成 R-加群はまた有限 R-加群 (finite R-module, module of finite type) や R 上有限 (finite over R) とも呼ばれる^[1]。

関連した概念に、有限余生成加群 (finitely cogenerated module)、有限表示加群 (finitely presented module)、有限関係加群 (finitely related module)、連接加群 (coherent module) があり、これらはすべてあとで定義される。ネーター環上では、有限生成、有限表示、連接加群の概念は一致する。

たとえば体上の有限生成加群とは単に有限次元ベクトル空間であり、有理整数環上の有限生成加群とは単に有限生成アーベル群である。

定義

左 R-加群 M が有限生成とは、M の元 a₁, a₂, ..., a_n が存在して、すべての M の元 x に対して、R の元 r₁, r₂, ..., r_n が存在して、x = r₁a₁ + r₂a₂ + ... + r_na_n となることである。

この場合、集合 {a₁, a₂, ..., a_n} は M の生成集合と呼ばれる。有限個の生成元は基底である必要はない、なぜならそれらは R 上一次独立である必要はないからだ。より圏論的な特徴づけとしては次がある。M は有限生成であるのは、ある自然数 n に対して全射 R-線型写像

${\displaystyle R^{n}\to M}$