2人の子供の性別問題
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2人の子供の性別問題（ふたりのこどものせいべつもんだい）は、確率論におけるいろいろな疑問を取り込んでいて、2人の子供問題または男の子と女の子のパラドックス（英: boy or girl paradox）としても知られている[1]。英語では「スミス氏の子供たち」[2] および「スミス夫人問題」ともいう。この問題の最初の定式化は、少なくとも1959年までさかのぼる。マーチン・ガードナーが1959年10月の『サイエンティフィック・アメリカン』のコラム「数学ゲーム」でこの問題を取り上げた。彼はそれを「2人の子供問題」と名付け、次のとおりにパラドックスを表現した。
- ジョーンズ氏には2人の子供がいる。上の子は女の子である。2人の子供が女の子である確率はどれだけか?
- スミス氏には2人の子供がいる。少なくとも1人は男の子である。2人の子供が男の子である確率はどれだけか?
ガードナーは当初、それぞれ 1/2 と 1/3 という答えを出したが、後に2番目の質問が曖昧であることを認めた。その答えは、情報「少なくとも1人は男の子である」が得られた過程に応じて、1/2 になる可能性がある。きっちりした言葉遣いや想定される仮定による曖昧さが Maya Bar-Hillel と Ruma Falk[3]、および Raymond S. Nickerson[4] によって確認された。
この質問の他のバリエーションは、さまざまな程度の曖昧さを伴いながら、雑誌『Parade』[5]掲載のマリリン・ヴォス・サヴァント (Marilyn vos Savant) のコラム "マリリンに聞け"と、John Tierney の『ニューヨーク・タイムズ』[6] の記事、Leonard Mlodinow の書籍『The Drunkard's Walk』[7] によって普及した。ある科学的研究によると、同一の情報を伝える場合に、異なる点を強調する異なる部分的に曖昧な言葉遣いで伝えたとき、1/2 と答えた経営学修士の学生の割合が 85% から 39% に変化した。
このパラドックスは、多くの論争を起こした[4]。このパラドックスは、2つの質問の問題設定が類似しているかどうかに起因する[2][7]。直観的な答えは 1/2 である[2]。質問によって読者が2番目の子供の性別に2つの可能性 (男の子と女の子) が等しく[2]、これらの結果の確率は条件付きではなく絶対的であると信じるように導く場合、これが直観的な答えになる[8]。
一般的な仮定
まず、すべての可能性のある事象の空間は簡単に列挙でき、結果の拡張的な定義 {男男, 男女, 女男, 女女} が提供できると仮定する[9]。この表記では、最初の文字で年長の子を表し、子供の4つの組合せが可能であることを示している。次に、これらの結果の確率は等しいと仮定する[9]。これは、p = 1/2 のベルヌーイ過程である次のモデルを意味する。
- 各子供は男か女のどちらかである。
- 各子供が男である可能性と女である可能性が等しい。
- 各子供の性別は他の子供の性別とは無関係である。
第1の質問
- ジョーンズには2人の子供がいる。上の子は女の子である。2人の子供が両方とも女の子である確率はどれだけか?
前述の仮定の下で、この問題では家族がランダムに選択される。この標本空間には、等確率で発生する事象が4つある。
年上の子 年下の子 女 女 女 男 男女男男
これらの可能性のある事象のうち、質問で指定された基準を満たすのは 2つ（女女、女男）だけである。新しい標本空間 {女女, 女男} の2つの可能性はどちらも等しい確率であり、2つのうち 女女 だけに2人の女の子が含まれるので、下の子も女の子である確率は 1/2 である。
第2の質問
- スミスには子供が2人いる。そのうち少なくとも1人は男の子である。2人とも男の子である確率はどれだけか?
この質問は第1の質問と同じだが、年上の子が男の子であると指定する代わりに、少なくとも1人が男の子であると指定されている。1959年に出された質問に対する読者の批判に応えて、ガードナーは提供されていない情報がなければ回答は不可能であると述べた。具体的には、「少なくとも1人が男の子である」と判断する2つの異なる過程によって、問題の文言はまったく同じになる可能性がある。しかし、正しい解答は異なる。
- 2人の子供がいる家族のうち、少なくとも1人が男の子である家族から、ランダムに1家族を選ぶ。この場合、答えは 1/3 になる。 .
- 2人の子供がいる家族から、1人の子供をランダムに選び、その子の性別を男の子と指定する。この場合、答えは 1/2 になる[3][4]。
グリンステッドとスネルは、ガードナーとほぼ同じように、この問題は曖昧であると主張している[10]。彼らは、1/3 という答えを出す過程が、上記の問題に対して妥当であるかどうかを判断するのは読者に任せている。彼らが具体的に検討していた問題の定式化は、次のとおりである。
- 2人の子供がいる家族について考えてみる。1人の子が男の子だとすると、2人の子供が両方とも男の子である確率はどれだけか?
この定式化では、曖昧さが最も顕著に表れている。特定の子が男の子であると仮定して、他の子については不確かなままにしてもよいのか、それとも「少なくとも1人の男の子」と同じように解釈すべきなのかが明確ではないからである。この曖昧さによって、同等ではない複数の可能性が残り、Bar-Hillel と Falk が主張するように、情報がどのように取得されたかについて仮定する必要が生じる。異なる仮定は異なる結果につながる可能性がある（問題の文章が十分に定義されていず、単一の分かりやすい解釈と解答ができないからである）。
たとえば、観察者がスミスが子供のうちの1人だけと散歩しているのを見たとする。彼に男の子が2人いる場合、その子供は男の子でなければならない。しかし、男の子と女の子が 1人ずついる場合、その子供は女の子である可能性がある。したがって、彼が男の子と一緒にいるのを見ると、女の子が2人いる組合せだけでなく、息子と娘がいて一緒に歩く子供として娘を選んだという組合せも排除される。
したがって、スミスには必ず少なくとも1人の男の子がいること（必要条件）は確かだが、スミスには必ず少なくとも1人の男の子がいるということを想定することはできない。つまり、問題文では、男の子がいることが、スミスが男の子をもっていると特定される十分条件であるとは述べられていない。※この段落、何を言っているのか不明。どなたか編集をお願いします。確かなのに想定することはできないとは？
この問題のガードナーの版についてのコメントとして、Bar-Hillel と Falk[3] は、「スミスは読者とは異なり、この質問をする際にはおそらく自分の子ども2人の性別を知っている」と指摘している。つまり、「私には子どもが2人いて、そのうち少なくとも1人は男の子だ」ということだ。さらに、これが真実であればスミスは必ずこの事実を報告すると仮定するか、沈黙を守るかまたは少なくとも娘が1人いると言うと仮定しなければならない。そうすれば、正解はガードナーが当初意図していたように 1/3 になる。しかし、その仮定の下では、彼が沈黙を守るか娘がいると言う場合、彼に娘が2人いる確率は 100% である。※この段落、何を言っているのか不明。どなたか編集をお願いします。男の子と歩いているのに、なぜ最終的には娘が2人いる確率は100%と結論付けているのか？
曖昧さの分析
この情報は両方の子供を見て少なくとも1人の男の子がいるかどうかを確認することで得られたものと仮定すると、条件は必要かつ十分である。上記の標本空間内の2人の子供がいる家族で等確率で発生する4つの事象のうち3つが、次の表に示すように条件を満たしている。
年上の子 年下の子 女女女 男 男 女 男 男
したがって、男の子を探す際に両方の子供が考慮されたと仮定すると、第2の質問の答えは 1/3 である。ただし、最初に家族が選択され、次にその家族の1人の子供の性別についてランダムに正しい命題が出された場合、両方が考慮されたかどうかに関係なく、条件付き確率を計算する正しい方法は、その性別の子供を含むすべての場合を数えることではない。代わりに、各場合で命題が成立する確率だけを考慮する必要がある[10]。したがって、「少なくとも1人の男の子」である事象を ALOB (At Least One Boy) で表し、「少なくとも1人の女の子」である事象を ALOG (At Least One Girl) で表すとすると、標本空間は次の表になる。
年上の子 年下の子 P(この家族) P(この家族が ALOB) P(この家族が ALOG) P(ALOB かつ この家族) P(ALOG かつ この家族) 女 女 1/4 0 1 0 1/4 女 男 1/4 1/2 1/2 1/8 1/8 男 女 1/4 1/2 1/2 1/8 1/8 男 男 1/4 1 0 1/4 0
したがって、ランダムに事実を選んだときに少なくとも1人が男の子であれば、両方が男の子 (BB) である確率は
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