隣接する2列だけが非零となる例
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/19 09:14 UTC 版)
「スペクトル系列」の記事における「隣接する2列だけが非零となる例」の解説
E p , q r {\displaystyle E_{p,q}^{r}} をホモロジー的なスペクトル系列で、0, 1以外の p に対しては E p , q 2 = 0 {\displaystyle E_{p,q}^{2}=0} であるものとする。視覚的には、このスペクトル系列の E 2 {\displaystyle E^{2}} ページは ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ 0 E 0 , 2 2 E 1 , 2 2 0 ⋯ ⋯ 0 E 0 , 1 2 E 1 , 1 2 0 ⋯ ⋯ 0 E 0 , 0 2 E 1 , 0 2 0 ⋯ ⋯ 0 E 0 , − 1 2 E 1 , − 1 2 0 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ {\displaystyle {\begin{matrix}&\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\\\cdots &0&E_{0,2}^{2}&E_{1,2}^{2}&0&\cdots \\\cdots &0&E_{0,1}^{2}&E_{1,1}^{2}&0&\cdots \\\cdots &0&E_{0,0}^{2}&E_{1,0}^{2}&0&\cdots \\\cdots &0&E_{0,-1}^{2}&E_{1,-1}^{2}&0&\cdots \\&\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\end{matrix}}} となっている。この2番目のページの微分の次数は (-2, 1) なので、微分は d p , q 2 : E p , q 2 → E p − 2 , q + 1 2 {\displaystyle d_{p,q}^{2}:E_{p,q}^{2}\to E_{p-2,q+1}^{2}} という形をしていて、 d 0 , q 2 : E 0 , q 2 → 0 {\displaystyle d_{0,q}^{2}:E_{0,q}^{2}\to 0} , d 1 , q 2 : E 1 , q 2 → 0 {\displaystyle d_{1,q}^{2}:E_{1,q}^{2}\to 0} なので、微分は全て零写像となっている。したがって、 E ∞ = E 2 {\displaystyle E^{\infty }=E^{2}} が成り立ち、このスペクトル系列は"退化"している。さて、このスペクトル系列が H ∗ {\displaystyle H_{*}} に収束し、そのフィルトレーションが 0 = F − 1 H n ⊂ F 0 H n ⊂ ⋯ ⊂ F n H n = H n {\displaystyle 0=F_{-1}H_{n}\subset F_{0}H_{n}\subset \dots \subset F_{n}H_{n}=H_{n}} で与えられていて、 E p , q ∞ = F p H p + q / F p − 1 H p + q {\displaystyle E_{p,q}^{\infty }=F_{p}H_{p+q}/F_{p-1}H_{p+q}} が成り立っていたとする。このとき、 F 0 H n = E 0 , n 2 {\displaystyle F_{0}H_{n}=E_{0,n}^{2}} , F 1 H n / F 0 H n = E 1 , n − 1 2 {\displaystyle F_{1}H_{n}/F_{0}H_{n}=E_{1,n-1}^{2}} , F 2 H n / F 1 H n = 0 {\displaystyle F_{2}H_{n}/F_{1}H_{n}=0} , F 3 H n / F 2 H n = 0 {\displaystyle F_{3}H_{n}/F_{2}H_{n}=0} などが成り立つ。これから、完全系列 0 → E 0 , n 2 → H n → E 1 , n − 1 2 → 0 {\displaystyle 0\to E_{0,n}^{2}\to H_{n}\to E_{1,n-1}^{2}\to 0} が得られる。次に、スペクトル系列 E p , q r {\displaystyle E_{p,q}^{r}} で2番目のページで q = 0, 1 の2行以外ゼロであるものを考える。このスペクトル系列は2番目のページで退化するとは限らないが、3番目のページでは微分の次数が (-3, 2) なのでそのページで退化する。分母がゼロであることに注意すると、 E p , 0 3 = ker ( d : E p , 0 2 → E p − 2 , 1 2 ) {\displaystyle E_{p,0}^{3}=\operatorname {ker} (d:E_{p,0}^{2}\to E_{p-2,1}^{2})} が分かる。同様に、 E p , 1 3 = coker ( d : E p + 2 , 0 2 → E p , 1 2 ) {\displaystyle E_{p,1}^{3}=\operatorname {coker} (d:E_{p+2,0}^{2}\to E_{p,1}^{2})} が分かる。したがって、 0 → E p , 0 ∞ → E p , 0 2 → d E p − 2 , 1 2 → E p − 2 , 1 ∞ → 0 {\displaystyle 0\to E_{p,0}^{\infty }\to E_{p,0}^{2}{\overset {d}{\to }}E_{p-2,1}^{2}\to E_{p-2,1}^{\infty }\to 0} が成り立つ。先程の例と同様に、スペクトル系列がフィルトレーション F を持つ H に収束したとする。 F p − 2 H p / F p − 3 H p = E p − 2 , 2 ∞ = 0 {\displaystyle F_{p-2}H_{p}/F_{p-3}H_{p}=E_{p-2,2}^{\infty }=0} , F p − 3 H p / F p − 4 H p = 0 {\displaystyle F_{p-3}H_{p}/F_{p-4}H_{p}=0} などが成り立つので、 0 → E p − 1 , 1 ∞ → H p → E p , 0 ∞ → 0 {\displaystyle 0\to E_{p-1,1}^{\infty }\to H_{p}\to E_{p,0}^{\infty }\to 0} が成り立つ。これらを全てあわせると、完全系列 ⋯ → H p + 1 → E p + 1 , 0 2 → d E p − 1 , 1 2 → H p → E p , 0 2 → d E p − 2 , 1 2 → H p − 1 → … {\displaystyle \cdots \to H_{p+1}\to E_{p+1,0}^{2}{\overset {d}{\to }}E_{p-1,1}^{2}\to H_{p}\to E_{p,0}^{2}{\overset {d}{\to }}E_{p-2,1}^{2}\to H_{p-1}\to \dots } が得られる。
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