略証
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/21 17:50 UTC 版)
定義により f, g: R → R が一点 x で微分可能ならば f ( x + h ) = f ( x ) + f ′ ( x ) h + ψ 1 ( h ) g ( x + h ) = g ( x ) + g ′ ( x ) h + ψ 2 ( h ) ( ψ 1 , ψ 2 ∼ o ( h ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}f(x+h)&=f(x)+f'(x)h+\psi _{1}(h)\\g(x+h)&=g(x)+g'(x)h+\psi _{2}(h)\end{aligned}}\quad (\psi _{1},\psi _{2}\sim o(h))} と書くことができる。ここで o はランダウの記号で lim h → 0 ψ 1 ( h ) h = lim h → 0 ψ 2 ( h ) h = 0 {\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {\psi _{1}(h)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {\psi _{2}(h)}{h}}=0} を意味する。このとき、 ( f ⋅ g ) ( x + h ) − ( f ⋅ g ) ( x ) = ( f ( x ) + f ′ ( x ) h + ψ 1 ( h ) ) ( g ( x ) + g ′ ( x ) h + ψ 2 ( h ) ) − ( f ⋅ g ) ( x ) = ( f ′ ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ′ ( x ) ) h + O ( h ) {\displaystyle {\begin{aligned}(f\cdot g)(x+h)-(f\cdot g)(x)&=(f(x)+f'(x)h+\psi _{1}(h))(g(x)+g'(x)h+\psi _{2}(h))-(f\cdot g)(x)\\&=(f'(x)g(x)+f(x)g'(x))h+O(h)\end{aligned}}} だから、h を 0 に近づける極限をとって所期の結果を得る。
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