球面波近似

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球面波

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/05/04 08:47 UTC 版)

球面波（きゅうめんは、英: spherical wave）とは、3次元の等方的な媒質中に存在する点波源から発生、もしくは一点に向かって収束する球状の波動のことである。同位相の波面は全て点波源を中心とする同心球面を形成するため、この波動は波源に関して球対称となる。3次元波動方程式の球対称解として記述される。

球面波を表す式

球面波を記述する式には次の2通りのものが存在する。

${\begin{aligned}\psi (r,t)&={\frac {f(r\pm vt)}{r}}\qquad \cdots (1)\\\psi (r,t)&={\frac {1}{r}}F\left(t\pm {\frac {r}{v}}\right)\qquad \cdots (2)\end{aligned}}$

球面波の特別な場合として、調和球面波が存在する。これは以下の式によって表されるものである。

${\begin{aligned}\psi (r,t)&={\frac {\mathcal {A}}{r}}\sin[k(r\pm vt+\delta )],\\&={\frac {\mathcal {A}}{r}}\sin \left[\omega \left(t\pm {\frac {r}{v}}+\delta \right)\right]\end{aligned}}$

ここで ${\mathcal {A}}$は波源強度とよばれる定数であり、k は波数、ωは角振動数、δは初期位相である。

調和球面波のエネルギー

点波源を中心とする球面の単位面積あたりに単位時間運ばれるエネルギー、すなわち波の強度 $I$は以下のようになる。

$I(r)=2\pi ^{2}\rho v\nu ^{2}\left({\frac {\mathcal {A}}{r}}\right)^{2}={\frac {2\pi ^{2}\rho v\nu ^{2}{\mathcal {A}}^{2}}{r^{2}}}$

ただし $\rho$は媒質の密度、 $\nu$は振動数である。

この式より調和球面波の強度に関して逆2乗の法則が成り立っていることがわかる。

関連項目

• 波動
• 平面波
• 逆2乗の法則