淡中・クライン双対性
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淡中・クライン双対性（たんなか・クラインそうついせい、Tannaka–Krein_duality）の理論は数学において、コンパクト群とその線形表現の圏 (数学)との間の相互作用に関するものであり、 コンパクト群と離散可換位相群の間のポントリャーギン双対を、コンパクトだが非可換な群に自然に拡張したものである。
解説
この理論は淡中忠郎とマルク・クレインにちなんで命名された。 レフ・ポントリャーギンが考えた可換群の場合とは対照的に、非可換コンパクト群の双対概念は群ではなく、Gの有限次元表現によって形成される、何らかの付加的な構造を持つ表現の圏Π(G)である。
淡中とクラインの双対性定理は、圏Π(G)から群Gへ戻る逆対応を記述し、表現の圏から群を回復することを可能にする。 さらに、彼らは、このようにして群から生じうるすべての圏を完全に特徴づけている。 後にアレクサンドル・グロタンディークは、同様のプロセスによって、淡中の双対性がTannakian formalismを介して代数群の場合に拡張できることを示した。 一方、淡中とクラインの理論は数理物理学者によって発展・改良され続けた。淡中-クライン理論の一般化は量子群の表現を研究するための自然な枠組みを提供し、現在では量子超群、量子亜群、およびそれらの双対ホップ亜代数に拡張されている。
淡中・クラインの双対性の考え方：群の表現のなす圏
修正、加筆に協力し、現在の表現をより自然な表現にして下さる方を求めています。ノートページや履歴も参照してください。（2024年10月）
淡中の定理 は、表現の圏 Π(G) から コンパクト群 G を再構成する方法を提供する。
G をコンパクト群とし、F: Π(G) → VectC をG の有限次元複素表現から有限次元複素ベクトル空間への忘却関手 とする。 自然変換 τ: F → F たちの集合に位相を入れる．それは
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