後ろ二つの添字について交代
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/25 07:11 UTC 版)
「リーマン曲率テンソル」の記事における「後ろ二つの添字について交代」の解説
二階共変テンソル Sih に対するリッチの公式は ∇ k ∇ j S i h − ∇ j ∇ k S i h = − ∑ a R k j i a S a h − ∑ a R k j h a S i a {\displaystyle \nabla _{k}\nabla _{j}S_{ih}-\nabla _{j}\nabla _{k}S_{ih}=-\sum _{a}R_{kji}{}^{a}S_{ah}-\sum _{a}R_{kjh}{}^{a}S_{ia}} （二階共変テンソルに対するリッチの公式） であるが、Sih = gih のとき、リッチの補定理 ∇ k g i h = 0 {\displaystyle \nabla _{k}g_{ih}=0} より ∇ k ∇ j g i h − ∇ j ∇ k g i h = − ∑ a R k j i a g a h − ∑ a R k j h a g i a = 0 {\displaystyle \nabla _{k}\nabla _{j}g_{ih}-\nabla _{j}\nabla _{k}g_{ih}=-\sum _{a}R_{kji}{}^{a}g_{ah}-\sum _{a}R_{kjh}{}^{a}g_{ia}=0} となる。 ここで、 R k j i h = ∑ a R k j i a g a h {\displaystyle R_{kjih}=\sum _{a}R_{kji}{}^{a}g_{ah}} より − ∑ a R k j i a g a h − ∑ a R k j h a g i a = − R k j i h − R k j h i = 0 {\displaystyle -\sum _{a}R_{kji}{}^{a}g_{ah}-\sum _{a}R_{kjh}{}^{a}g_{ia}=-R_{kjih}-R_{kjhi}=0} 従って、 R k j i h = − R k j h i {\displaystyle R_{kjih}=-R_{kjhi}} となり、リーマン-クリストッフェルのテンソル R k j i h {\displaystyle R_{kjih}} 後ろ二つの添字 (i , h) について交代の性質を持つ
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