定義の整合性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/08/14 11:04 UTC 版)
定義の積分表示と極限表示が一致することを示す。 G n ( z ) = ∫ 0 n t z − 1 ( 1 − t n ) n d t {\displaystyle G_{n}(z)=\int _{0}^{n}{t^{z-1}\left(1-{\frac {t}{n}}\right)^{n}}dt} とすれば lim n → ∞ ( 1 − t / n ) n = e − t {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{(1-t/n)^{n}}=e^{-t}} であるから直感的には lim n → ∞ G n ( z ) = ∫ 0 ∞ t z − 1 e − t d t {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{G_{n}(z)}=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}dt} である。(厳密にははさみうちの原理によって証明される)t = nu の置換により G n ( z ) = n z ∫ 0 1 u z − 1 ( 1 − u ) n d u {\displaystyle G_{n}(z)=n^{z}\int _{0}^{1}{u^{z-1}(1-u)^{n}}du} となる.nz を除く部分を gn(z) として g 0 ( z ) = ∫ 0 1 u z − 1 d u = [ u z z ] u = 0 1 = 1 z {\displaystyle g_{0}(z)=\int _{0}^{1}{u^{z-1}}du=\left[{\frac {u^{z}}{z}}\right]_{u=0}^{1}={\frac {1}{z}}} g n ( z ) = ∫ 0 1 ( u z z ) ′ ( 1 − u ) n d u = n z ∫ u = 0 1 u z ( 1 − u ) n − 1 d u = n z g n − 1 ( z + 1 ) {\displaystyle g_{n}(z)=\int _{0}^{1}{\left({\frac {u^{z}}{z}}\right)'(1-u)^{n}}du={\frac {n}{z}}\int _{u=0}^{1}{u^{z}(1-u)^{n-1}}du={\frac {n}{z}}g_{n-1}(z+1)} これにより G n ( z ) = n z n ! ∏ k = 0 n ( z + k ) {\displaystyle G_{n}(z)={\frac {n^{z}n!}{\prod _{k=0}^{n}{(z+k)}}}} を得る。故に ∫ 0 ∞ t z − 1 e − t d t = lim n → ∞ G n ( z ) = lim n → ∞ n z n ! ∏ k = 0 n ( z + k ) {\displaystyle \int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}dt=\lim _{n\to \infty }G_{n}(z)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{z}n!}{\prod _{k=0}^{n}{(z+k)}}}} である。
※この「定義の整合性」の解説は、「ガンマ関数」の解説の一部です。
「定義の整合性」を含む「ガンマ関数」の記事については、「ガンマ関数」の概要を参照ください。
Weblioに収録されているすべての辞書から定義の整合性を検索する場合は、下記のリンクをクリックしてください。
全ての辞書から定義の整合性 を検索
- 定義の整合性のページへのリンク