双1次曲面

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双1次曲面

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/06/19 22:58 UTC 版)

Bilinear surface

双1次曲面（そういちじきょくめん）とは、4つの制御点から作成される曲面である。CAD/CGでは形状の定義,FEMなどのシュミューレーションでは値の積分や補間などに使用される。

一般式1

曲面 $S$

Projecting point on a surface

任意の点 $P$を双1次曲面上に射影するには,任意点 $P$の曲面上の距離が最小になる点を選択する。一般に次式を2変数のニュートン法を使用して解き，双1次曲面上のu,vの値を得る。

$F(u,v)=|S(u,v)-P|^{2}$

${\frac {\partial F}{\partial u}}={\frac {\partial S}{\partial u}}\cdot {(S(u,v)-P)}=0$

${\frac {\partial F}{\partial v}}={\frac {\partial S}{\partial v}}\cdot {(S(u,v)-P)}=0$

一般式2

FEMなどのシュミューレーションでは，CADやCGとパラメータの定義域が異なることが多いが,一般式1と同じ結果が得られる。

$S(u,v)=N_{0}P_{0}+N_{1}P_{1}+N_{2}P_{2}+N_{3}P_{3}$

$N_{0}={1 \over 4}(1-u)(1-v)$

$N_{1}={1 \over 4}(1+u)(1-v)$

$N_{2}={1 \over 4}(1+u)(1+v)$

$N_{3}={1 \over 4}(1-u)(1+v)$

パラメータ $u$, $v$の範囲は，以下の通り。

$-1\leqq u\leqq 1,-1\leqq v\leqq 1$

偏微分

$u$方向および $v$方向の偏微分は,以下の通り。

${\frac {\partial N_{0}}{\partial u}}=-{1 \over 4}(1-v)$

${\frac {\partial N_{1}}{\partial u}}={1 \over 4}(1-v)$

${\frac {\partial N_{2}}{\partial u}}={1 \over 4}(1+v)$

${\frac {\partial N_{3}}{\partial u}}=-{1 \over 4}(1+v)$

${\frac {\partial N_{0}}{\partial v}}=-{1 \over 4}(1-u)$

${\frac {\partial N_{1}}{\partial v}}=-{1 \over 4}(1+u)$

${\frac {\partial N_{2}}{\partial v}}={1 \over 4}(1+u)$

${\frac {\partial N_{3}}{\partial v}}={1 \over 4}(1-u)$

外部リンク

• [1] 2変数のニュートン法.

関連項目

• 曲面