分岐図 (力学系)
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/01/23 07:31 UTC 版)
力学系理論における分岐図（ぶんきず、英語：bifurcation diagram）とは、系のパラメータ変化によって起こる分岐の様相をプロットする図である。
ある力学系のパラメータ変化にともない、系の振る舞いが質的に変化することを分岐と呼ぶ[1]。分岐図は、このような分岐の様相を把握するのに有用な図である[2]。
数学的には、パラメータと不変集合の組全体を描いたものが分岐図といえる[3]。1状態変数-1パラメータの分岐図では、横軸にパラメータを取り、縦軸に状態変数を取り、固定点あるいは周期点のグラフを図示する[4]。安定な固定点には実線を、不安定な固定点には破線を用い、それぞれを区別する[5]。分岐図中には、状態空間が進む方向を示す矢印を記入することもある[6]。
エノン写像のような2パラメータの系では、横軸と縦軸にそれぞれのパラメータを割り当て、系の振る舞いごとに分岐図平面を色分けして図示する[7]。
数値実験的に書かれた近似的な分岐図は、軌道図（英語：orbit diagram）とも呼ばれる[8]（軌道図と同じものを単に分岐図とよぶこともある[9]）。軌道図では、横軸にパラメータを取るのは分岐図と同じだが、縦軸には写像の反復による漸近的な軌道をプロットする[10]。ロジスティック写像の軌道図は、非線形ダイナミクスの象徴とも言えるほどよく知られている[11]。
軌道図の場合、具体的には次のようにプロットを作成する[11]。パラメータ a、状態変数 x のある写像を fa と記すとする。まず a をある数値に固定して、fa の反復を例えば600回行う。その内の最初の300回の結果は、過渡的な振る舞いを示しているものとして捨て去り、後の300回の結果を残す。そして、残した300個の x の数値を、固定した a に対してプロットする。a の数値を少し変えて上記を再度行う。これを繰り返すことで軌道図が出来上がる。
軌道図を描くときは、写像の反復をするときの初期値 x0 の選び方が重要となる[12]。軌道図で近似的に描かれるのは、x0 についての ω-極限集合 ω (x0) である[8]。系が複数のアトラクターを持っていたとしても、上手く初期値を取らないと一つのアトラクターしか軌道図で捉えられないこともある[12]。どのような初期値の決め方がよいかは、具体的には個別に試行錯誤せざるを得ない[12]。
出典
参照文献
- 桑村 雅隆、2015、『パターン形成と分岐理論 ―自発的パターン発生の力学系入門』初版、共立出版〈シリーズ・現象を解明する数学〉 ISBN 978-4-320-11004-5
- Steven H. Strogatz、田中 久陽・中尾 裕也・千葉 逸人（訳）、2015、『ストロガッツ 非線形ダイナミクスとカオス ―数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで』、丸善出版 ISBN 978-4-621-08580-6
- Robert L. Devaney、國府 寛司・石井 豊 ・新居 俊作・木坂 正史（新訂版訳）、後藤 憲一（訳）、2003、『カオス力学系入門』新訂版、共立出版 ISBN 4-320-01705-6
- 瀬野 裕美、2016、『数理生物学講義 : 【基礎編】 数理モデル解析の初歩』初版、共立出版 ISBN 978-4-320-05781-4
- 小室 元政、2005、『基礎からの力学系 ―分岐解析からカオス的遍歴へ』新版、サイエンス社 ISBN 4-7819-1118-8
- ロバート・L・デバニー、上江洌 達也・重本 和泰・久保 博嗣・田崎 秀一（訳）、2007、『カオス力学系の基礎』新装版、ピアソン・エデュケーション ISBN 978-4-89471-028-3
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