冪和の公式

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ファウルハーバーの公式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/03/26 01:53 UTC 版)

ヤコブ・ベルヌーイの『推測術』（Ars Conjectandi、1713年）より。10乗和までの公式と、ベルヌーイ数を用いた一般的な冪乗和の公式が与えられている。ただし、9乗和の最後の項 -(1/12) n² は誤りであり、正しくは -(3/20) n² である。

ファウルハーバーの公式（ファウルハーバーのこうしき、Faulhaber's formula）は、最初の n 個の k 乗数の和

${\displaystyle S_{k}(n):=1^{k}+2^{k}+\dotsb +n^{k}}$

関孝和『括要算法』（1712年）の「式図」。冪乗和の公式を導くための表である。下部にはベルヌーイ数が見られ、表中には算木で表現された二項係数が並べられている。

1乗和と2乗和については、アルキメデスの時代から知られていた^[2]。3乗和に関して

${\displaystyle 1^{3}+2^{3}+\dotsb +n^{3}=(1+2+\dotsb +n)^{2}}$

が成り立つことは、歴史上たびたび再発見されている。1世紀の数学者ニコマコスは「n 番目の立方数は n 個の連続した奇数の和である」ことを証明なしに述べており^[3]、既知の結果「最初の m 個の奇数の和は m の平方に等しい」と合わせると、3乗和の公式を知っていたとも見なせる^{[注釈 3]}。西暦500年頃、アリヤバータは3乗和の公式を明示的に与えた。西暦1000年頃、アル＝カラジ（英語版）は図形および数学的帰納法を用いて3乗和の公式を証明した。同じくイスラムの数学者イブン・アル・ハイサムは、4乗和の公式を与えたが、その方法を用いれば何乗和でも求めることができる^[4]。

フェルマーは、求積法のために冪乗和が重要なことを認識し、一般的な公式およびその証明を得たと述べたが、詳細は明らかにしなかった。一方、ファウルハーバーは Academia Algebrae（1631年）において17乗和までの公式を与えた^[5]。彼は一般的な公式を与えるまでには至らなかったが、S_k(n) は、k が奇数のときは S₁(n) の多項式で書け、k が偶数のときは S₂(n) で割れてその商がやはり S₁(n) の多項式で書けることを指摘した。実際、例えば

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{3}(n)&=(S_{1}(n))^{2}\\S_{4}(n)&={\frac {S_{2}(n)(6S_{1}(n)-1)}{5}}\\S_{5}(n)&={\frac {4S_{1}(n)^{3}-S_{1}(n)^{2}}{3}}\\S_{6}(n)&={\frac {S_{2}(n)(12S_{1}(n)^{2}-6S_{1}(n)+1)}{7}}\end{aligned}}}$

などとなる。この事実は後にヤコビが再発見し、厳密な証明を与えた^[6]。

ベルヌーイ数を用いて一般的な冪乗和の公式を与えた初めての文献は、1712年の関孝和『括要算法』および1713年のヤコブ・ベルヌーイ『推測術』(Ars Conjectandi) である。共に遺稿であり（関は1708年没、ベルヌーイは1705年没）、どちらが先に公式を発見したのかは不明である。ベルヌーイは、公式を用いて 1 から 1000 までの10乗の和を計算し、8分の1時間もかからずに 91, 409, 924, 241, 424, 243, 424, 241, 924, 242, 500 を得た、と述べている^[7]。

注釈

1. ^ 参考文献コンウェイ・ガイ『数の本』や MathWorld では「ファウルハーバーの公式」である。一方、日本では固有名詞のように呼ばれることは少なく、荒川・金子・伊吹山『ベルヌーイ数とゼータ関数』では「べき乗和の公式」である。
2. ^ B₁ = 1/2 となるようにベルヌーイ数を定義する流儀と、B₁ = −1/2 となるように定義する流儀がある。ここでの定義は、関孝和と同様に前者である。MathWorld など、後者の流儀を採用している場合、冪乗和の公式も一見異なるもののように見えるかもしれないが、本質的に同じものである。
3. ^ ニコマコスの主張は、1³ = 1, 2³ = 3 + 5, 3³ = 7 + 9 + 11, 4³ = 13 + 15 + 17 + 19, … ということ。これより例えば 1³ + 2³ + 3³ + 4³ は最初の (1 + 2 + 3 + 4) 個の奇数の和であるから (1 + 2 + 3 + 4)² に等しい。

出典

1. ^ コンウェイ・ガイ p. 122
2. ^ Dickson p. 4
3. ^ カッツ p. 195
4. ^ カッツ pp. 290–293
5. ^ カッツ pp. 544–545
6. ^ 荒川・金子・伊吹山 p. 3
7. ^ 荒川・金子・伊吹山 p. 1

参考文献

• 荒川恒男、金子昌信、伊吹山知義『ベルヌーイ数とゼータ関数』牧野書店、2001年 ISBN 978-4795201392 -- 特に第1章。公式の厳密な証明が与えられている。
• ジョン・ホートン・コンウェイ、リチャード・ガイ（英語版）著、根上生也訳『数の本』シュプリンガー・フェアラーク東京、2001年 ISBN 978-4431707707 -- 特に第4章「ベルヌーイ数」の節。公式の略式の証明が与えられている。
  • John H. Conway and Richard Guy, The Book of Numbers, Springer, 1996 ISBN 978-0387979939
• L. E. Dickson, History of the Theory of Numbers, Volume ll: Diophantine Analysis, Dover Publications, 2005 ISBN 978-0486442334
• ヴィクター・カッツ著、上野健爾他訳『数学の歴史』共立出版、2005年 ISBN 978-4320017658
  • Victor J. Katz, History of Mathematics, 3rd edition, Addison Wesley, 2008 ISBN 978-0321387004
• 日本数学協会「関孝和没後300年記念懸賞問題」数学文化第9号 pp. 13-16、2008年 ISBN 978-4535602397

外部リンク

• Weisstein, Eric W. "Faulhaber's formula". MathWorld (英語).
• 東北大学和算資料データベース