ボンベリの方法
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/08/25 22:16 UTC 版)
「ラファエル・ボンベリ」の記事における「ボンベリの方法」の解説
ボンベリは平方根を求めるのに連分数を用いた。彼の方法を用いて n {\displaystyle {\sqrt {n}}} を求めるには、まず n = ( a ± r ) 2 = a 2 ± 2 a r + r 2 {\displaystyle n=(a\pm r)^{2}=a^{2}\pm 2ar+r^{2}\ } かつ 0 < r < 1 {\displaystyle 0<r<1\ } なるrを求めることになるが、このrは r = | n − a 2 | 2 a ± r {\displaystyle r={\frac {|n-a^{2}|}{2a\pm r}}} と表せる。右辺に出てくるrを消去すると連分数を用いて次のように表せる。 a ± | n − a 2 | 2 a ± | n − a 2 | 2 a ± | n − a 2 | 2 a ± ⋯ {\displaystyle a\pm {\frac {|n-a^{2}|}{2a\pm {\frac {|n-a^{2}|}{2a\pm {\frac {|n-a^{2}|}{2a\pm \cdots }}}}}}} 例えば、 13 {\displaystyle {\sqrt {13}}\ } の真の値は3.605551275...であるが、ボンベリの方法を用いると次のようになる。 3 2 3 , 3 3 5 , 3 20 33 , 3 66 109 , 3 109 180 , 3 720 1189 , ⋯ {\displaystyle 3{\frac {2}{3}},\ 3{\frac {3}{5}},\ 3{\frac {20}{33}},\ 3{\frac {66}{109}},\ 3{\frac {109}{180}},\ 3{\frac {720}{1189}},\ \cdots } 最後の式の値は3.605550883...となる。ボンベリの方法はアレクサンドリアのヘロンやアルキメデスの方法と比較される。 アルキメデスが π {\displaystyle \pi \ } を求めた方法を用いると 265 153 < 3 < 1351 780 {\displaystyle {\frac {265}{153}}<{\sqrt {3}}<{\frac {1351}{780}}} となる。 典拠管理 BNF: cb10387062k (データ) GND: 120719770 ISNI: 0000 0000 8344 8636 LCCN: n00077146 NLI: 000022686 NTA: 098029304 ICCU: IT\ICCU\RMLV\036094 SUDOC: 187817677 VIAF: 77153564 WorldCat: lccn-n00077146
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