トロピカル幾何学

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トロピカル幾何学

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/10/23 02:31 UTC 版)

A tropical cubic curve

トロピカル幾何学（英語: Tropical geometry）は南米ではじまった新しい演算規則に関わる幾何学のことであり、和を最小値関数、最大値関数、積を通常の和に変更したものである。特にアメーバや代数幾何学や超離散との関連が深い。トロピカルという呼称は、ブラジル人数学者・計算機科学者のイムレ・シモンに因む。

定義

$\mathbb {R} \cup \{\infty \}$ に以下の演算

$x\oplus y=\min\{\,x,y\,\},$

$x\otimes y=x+y$

を入れると、∞を零元、0を単位元とする可換な冪等半環 となる。 $(\mathbb {R} \cup \{\infty \},\oplus ,\otimes )$ となる。これをトロピカル半環（あるいは min-plus 代数）という。 また $\mathbb {R} \cup \{-\infty \}$ に最大値関数による和、通常の加法による積を入れた max-plus 代数をトロピカル半環ということもある。

トロピカル半環上の多項式をトロピカル多項式という。トロピカル多項式の和と積は次数ごとに上と同様に定義する。トロピカル多項式は、関数としては区分線形関数であるが、その関数の可微分でない点をトロピカル多項式の零点という。零点集合はトロピカル超曲面をなす。

参考文献

• Bogart, Tristram; Jensen, Anders; Speyer, David; Sturmfels, Bernd; Thomas, Rehka (2005). “Computing Tropical Varieties”. arXiv:math/0507563v1.
• Einsiedler, Manfred; Kapranov, Mikhail; Lind, Douglas (2005). “Non-archimedean amoebas and tropical varieties”. arXiv:math/0408311v2.
• Gathmann, Andreas (2006). “Tropical algebraic geometry”. arXiv:math/0601322v1.
• Gross, Mark (2011). Tropical geometry and mirror symmetry. Providence, R.I.: Published for the Conference Board of the Mathematical Sciences by the American Mathematical Society with support from the National Science Foundation. ISBN 978-0-8218-5232-3 
• Itenberg, Illia; Grigory Mikhalkin, Eugenii Shustin (2009). Tropical algebraic geometry (2nd ed.). Basel: Birkhäuser Basel. ISBN 9783034600484 
• Mikhalkin, Grigory (2006). “Tropical Geometry and its applications”. arXiv:math/0601041v2.
• Mikhalkin, Grigory (2004). “Enumerative tropical algebraic geometry in R2”. arXiv:math/0312530v4.
• Mikhalkin, Grigory (2004). “Amoebas of algebraic varieties and tropical geometry”. arXiv:math/0403015v1.
• Nishinou, Takeo; Siebert, Bernd (2004). “Toric degenerations of toric varieties and tropical curves”. arXiv:math/0409060v3.
• Pachter, L.; Sturmfels, Bernd (2004). “Tropical geometry of statistical models”. Proceedings of the National Academy of Sciences 101 (46): 16132–16137. doi:10.1073/pnas.0406010101. 
• Speyer, David E. (2003). “The Tropical Grassmannian”. arXiv:math/0304218v3.
• Speyer, David; Sturmfels, Bernd (2004). “Tropical Mathematics”. arXiv:math/0408099v1.
• Theobald, Thorsten (2003). “First steps in tropical geometry”. arXiv:math/0306366v2.
• "Tropical Mathematics", in Algebraic Topology - A Guide to Literature
• D.マクラガン、B.シュツルムフェルズ：「トロピカル幾何学入門」、丸善出版、ISBN 978-4621308769（2023年12月1日）。
  • 原著：Diane Maclagan and Bernd Sturmfels: Introduction to Tropical Geometry, American Mathematical Society (GSM161), ISBN 978-0-8218-5198-2 (2015).
• 小林正典：「トロピカル幾何学の最前線―トロピカル幾何学に親しみ，最近の発展に触れる―」、理大 科学フォーラム 2024、Vol4,pp,20-23．Algebraic Topology - A Guide to Literature

外部リンク

• Tropical Geometry, I

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トロピカル幾何学（tropical geometry）

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「代数幾何学用語一覧」の記事における「トロピカル幾何学（tropical geometry）」の解説

区分的に線形な代数幾何学の一種。「トロピカル幾何学」参照。