スピンを考慮した場合のオブザーバブル
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/10 05:04 UTC 版)
「スピン角運動量」の記事における「スピンを考慮した場合のオブザーバブル」の解説
量子力学においてスピンを考慮しない場合のオブザーバブル A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} は、L2(R3) 上のエルミート演算子として定式化されている。スピンを考慮した場合、この演算子 A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} を A ^ ⊗ i d : L 2 ( R 3 ) ⊗ V s → L 2 ( R 3 ) ⊗ V s , {\displaystyle {\hat {A}}\otimes \mathrm {id} ~:~L^{2}(\mathbf {R} ^{3})\otimes V_{s}\to L^{2}(\mathbf {R} ^{3})\otimes V_{s},} ∑ j ϕ j ( x , y , z ) ⊗ σ j ↦ ∑ j A ^ ( ϕ j ( x , y , z ) ) ⊗ σ j {\displaystyle \sum _{j}\phi _{j}(x,y,z)\otimes \sigma _{j}\mapsto \sum _{j}{\hat {A}}(\phi _{j}(x,y,z))\otimes \sigma _{j}} と同一視する事で、スピンを考慮した波動関数の空間 H = L 2 ( R 3 ) ⊗ V s {\displaystyle {\mathcal {H}}=L^{2}(\mathbf {R} ^{3})\otimes V_{s}} 上のオブザーバブルとみなす。(ここでidは恒等写像である)。 後述するように、スピン角運動量演算子は、Vs上のエルミート演算子として定式化できるが、これも同種の同一視により、 H = L 2 ( R 3 ) ⊗ V s {\displaystyle {\mathcal {H}}=L^{2}(\mathbf {R} ^{3})\otimes V_{s}} 上のオブザーバブルとみなす。すなわち S ^ {\displaystyle {\hat {S}}} を（何らかの軸に関する）スピン角運動量とするとき、 S ^ {\displaystyle {\hat {S}}} は i d ⊗ S ^ : L 2 ( R 3 ) ⊗ V s → L 2 ( R 3 ) ⊗ V s , {\displaystyle \mathrm {id} \otimes {\hat {S}}~:~L^{2}(\mathbf {R} ^{3})\otimes V_{s}\to L^{2}(\mathbf {R} ^{3})\otimes V_{s},~~} ∑ j ϕ j ( x , y , z ) ⊗ σ j ↦ ∑ j ϕ j ( x , y , z ) ⊗ S ^ ( σ j ) {\displaystyle \sum _{j}\phi _{j}(x,y,z)\otimes \sigma _{j}\mapsto \sum _{j}\phi _{j}(x,y,z)\otimes {\hat {S}}(\sigma _{j})} と同一視する。
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