概要
独立同分布を満たす 個の確率変数 とその観測値 を定義する。すなわち真の分布から 個の観測値(データ)が無作為抽出された状況を考える。
ここで確率密度関数 に従う確率モデルを導入する。ここで は分布パラメータ群であり、パラメータ空間Θ ⊂ Rpに値を持つ。この確率モデルが を最も良く説明する を求めたい。ゆえに最尤推定をおこなう。
このとき独立同分布条件により、尤度関数 と対数尤度関数 は以下で定義される。
すなわちあるデータ群に対するモデルの尤度関数は、各観測値に対する尤度関数の積(対数尤度の場合は和)となる。
最尤法では対数尤度関数を最大化する が最尤推定値 として定まる。このとき は次の極値条件を満たす。
この方程式を尤度方程式という。左辺の勾配ベクトル:
は、スコア関数、もしくは単にスコアと呼ばれる。多くの場合、最尤推定値の推定は、尤度方程式を解く問題、すなわち、スコアをゼロとするパラメータθ∈ Θを求める問題に帰着する。
例
正規分布
Xi (i=1,..,n)が平均をμ、分散をσ2とする正規分布に従うとする(X ∼ N(μ, σ2))。このとき、対数尤度関数は
であり、尤度方程式は
となる。これらを整理すると最尤推定値として
を得る。
ワイブル分布
Xi (i=1,..,n)が形状パラメータをβ、尺度パラメータをηとするワイブル分布に従うとする。このとき、対数尤度関数は
であり、尤度方程式は
となる。
これらを整理すると最尤推定値ˆη、ˆβが満たすべき関係式
を得る。第二式を満たすˆβを数値的に求めれば、第一式よりˆηも定まる。
ガンマ分布
Xi (i=1,..,n)が形状パラメータをα、尺度パラメータをβとするガンマ分布に従うとする(X ∼ Γ(α, β))。このとき、対数尤度関数は
であり、尤度方程式は
となる。
ここではψ(α)はガンマ関数の対数微分であるディガンマ関数を表す。これらを整理すると最尤推定値ˆβ、ˆαが満たすべき関係式
を得る。第二式を満たすˆαを数値的に求めれば、第一式よりˆβも定まる。