単調写像 実数列での単調性

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単調写像

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/05/28 16:23 UTC 版)

実数列での単調性

実数に値を取る数列は、自然数の集合(全順序集合である)から実数の集合への写像であると解釈できる。 その写像が単調なとき、その数列は単調数列と呼ばれる。

実数列 $\left\{a_{k}\right\}_{k=1}^{n}$ を考える。（$n$は$\infty$でも構わない）

$\forall i,\forall j\in \left\{1,2,\cdots ,n\right\}$ に対し～が成り立つとき	$\left\{a_{k}\right\}_{k=1}^{n}$ は～である
	語法1	語法2	語法3
$i<j\Rightarrow a_{i}<a_{j}\,$	増加	狭義増加	増加
$i<j\Rightarrow a_{i}\leq a_{j}\,$	広義増加	増加	非減少
$i<j\Rightarrow a_{i}>a_{j}\,$	減少	狭義減少	減少
$i<j\Rightarrow a_{i}\geq a_{j}\,$	広義減少	減少	非増加

関数の場合と同様、等号の成り立つ場合の扱いは書籍によりさまざまで、統一が取れていない。

特に、定義域全体で増加/減少である数列を、増加数列/減少数列または増加列/減少列という。増加数列と減少数列をまとめて単調数列という。