ローレンツ群
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2023/07/11 21:12 UTC 版)
ローレンツ群の部分群
ローレンツ群のリー代数の部分代数はを共役による違いを除いて列挙することができる。そこから、制限ローレンツ群の閉じた部分群を共役の違いを除いて列挙することができる。(詳細については(Hall 2004)を参照のこと。) その結果は上の表に挙げた生成系により容易に表現できる。
その一次元部分代数はもちろんローレンツ群の四つの共役類に次のように対応する。
リー代数 SO(1, 3) の共役による違いを除いた部分代数の束 連結リー群の常として、制限ローレンツ群の閉じた部分群の剰余空間、すなわち等質空間は、非常に数学的に興味深い。いくつか簡潔な説明を加えると、
- 群 Sim(2) は「ヌルライン」、すなわちリーマン球面上の点の であり、等質空間 SO+(1, 3)/Sim(2) は球面 S2 上の共形幾何を表現するクライン幾何である。
- ユークリッド群 SE(2) (の単位元成分)はヌルベクトルの安定化部分群である。よって、等質空間 SO+(1, 3)/SE(2) は質量のない粒子の運動量空間である。幾何学的にはこのクライン幾何はミンコフスキー時空上の光円錐の「縮退した」幾何を表現している。
- 回転群 SO(3) は時間的ベクトルの安定化部分群である。よって、SO+(1, 3)/SO(3) は質量のある粒子の運動量空間である。幾何学的には、この空間は三次元双曲空間 H3 にほかならない。
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