キュービック【cubic】
Cubic
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2019/06/22 01:56 UTC 版)
『Cubic』は日本のインストゥルメンタル・ロックバンド、LITEの5枚目のアルバムである。
- ^ “LITE | [CUBIC special website]” (日本語). LITE | [CUBIC] special website. 2019年6月20日閲覧。
- 1 Cubicとは
- 2 Cubicの概要
三次曲線
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数学において、三次曲線(さんじきょくせん、英: cubic)、特にユークリッド幾何学における平面三次曲線(英: cubic plane curve)は以下のような三次方程式によって定義される代数曲線である。
特異的な三次曲線 y2 = x2 ⋅ (x + 1). 媒介変数表示 t ↦ (t2 – 1, t ⋅ (t2 – 1)). 三次曲線には特異点を持つものもあり、射影直線におけるパラメトリック方程式となる。一方、 特異点を持たない三次曲線は複素数のような代数的閉体上に9つの変曲点を持つ[1]。これは、三次曲線を再定義するヘッセ行列の同次座標をCと掛け合わせることにより示すことができる(ベズーの定理)。しかし、これらの点のうちは実射影平面上にあるのは3点だけであり[2]、他の点は実射影平面上で曲線を描いても見ることはできない。特異点を持たない三次曲線の9つの変曲点は、そのうちの2つを通るすべての直線がちょうど3つの変曲点を含むという性質を持っている。
実射影平面上にある変曲点はニュートンによって研究され、非特異な三次曲線の実点が1つか2つの「オーバル」を通ることが発見された。 これらのオーバルのうちの1つは、すべて射影直線を横切るので、ユークリッド平面に描いたときには見ることができず、3つの実変曲点を含む、1本または3本の無限の分岐として現れる。もう1つのオーバルは、存在するとしても変曲点を含まず、オーバルか2つの無限の分岐のように見える。 円錐曲線の断面の様に直線はオーバルを最大2点で切断する。
非特異な三次曲線はK上の楕円曲線でもある。楕円曲線は普通、ワイエルシュトラスの楕円関数を変形したもので研究されており、三次関数の平方根で作られた有理関数上で定義されている。これはワイエルシュトラス標準形の無限遠点としてはたらくK-有理点に依存する。Kが有理数体のとき多くの三次曲線はそのような点を持たない。
尖点や二重点など、特異的な三次曲線の特異点は限られている。 そのような3次曲線は、2次曲線と直線、または3つの直線に退化する。したがって2次曲線と直線の場合は、2つのニ重点または二重尖点、3つの直線の場合はまたは3つのニ重点か1つの三重点(共点)を持つ。
三角形の三次曲線
△ABCの辺について
△ABCのノイベルグ三次曲線 Xを辺BC, CA, ABで鏡映した点をXA, XB, XCとしAXA, BXB, CXCが一点で交わるようなXの軌跡である。 三線座標:
トムソン三次曲線(黒い線)トムソン三次曲線上のX ,X*,X(2)(重心)は共線である。 三線座標:
ダルブー三次曲線、 XのBC, CA, ABに対する垂足三角形が元の三角形と配景的であるようなXの軌跡 三線座標:
リュカ三次曲線 、 Xののチェバ三角形 がダルブー三次曲線上の点の垂足三角形となるような点Xの軌跡。 三線座標:
第一ブロカール三次曲線、第一ブロカール三角形を△A'B'C' とし、XA', XB', XC'とBC, CA, CB,のそれぞれの交点が共線であるような点Xの軌跡。 三線座標:
第一等積三次曲線:X のチェバ三角形とX*のチェバ三角形の面積が等しくなるような点Xの軌跡。 三線座標:
重心座標:
1st equal areas cubicはX のチェバ三角形とX*のチェバ三角形の面積が等しくなるような点Xの軌跡である。X*が直線S*X 上(S = X(99),シュタイナー点)にあるような点Xの軌跡とも定義される。
1st equal areas cubicは内心と傍心、シュタイナー点 、第一,第二ブロカール点を通る。
Berhard GibertのCubics in the Triangle Planeでは K021として登録されている。
2nd equal areas cubic
三線座標:
重心座標:
2nd equal areas cubicは三線座標で , , とし、XYとXZのチェバ三角形の面積が等しくなるような点Xの軌跡である。
2nd equal areas cubicは内心、重心、類似重心 X(31), X(105), X(238), X(292), X(365), X(672), X(1453), X(1931), X(2053)などを通る。
Cubics in the Triangle Planeでは K155として登録されている。
出典
関連
- 非平面三次曲線
- 楕円曲線
- アーネシの曲線
- Catalogue of Triangle Cubics
参考文献
- Bix, Robert (2006), Conics and Cubics: A Concrete Introduction to Algebraic Curves (Second ed.), New York: Springer, ISBN 978-0387-31802-8, MR2242725, Zbl 1106.14014.
- Cerin, Zvonko (1998), “Locus properties of the Neuberg cubic”, Journal of Geometry 63 (1–2): 39–56, doi:10.1007/BF01221237.
- Cerin, Zvonko (1999), “On the cubic of Napoleon”, Journal of Geometry 66 (1–2): 55–71, doi:10.1007/BF01225672.
- Cundy, H. M. & Parry, Cyril F. (1995), “Some cubic curves associated with a triangle”, Journal of Geometry 53 (1–2): 41–66, doi:10.1007/BF01224039.
- Cundy, H. M. & Parry, Cyril F. (1999), “Geometrical properties of some Euler and circular cubics (part 1)”, Journal of Geometry 66 (1–2): 72–103, doi:10.1007/BF01225673.
- Cundy, H. M. & Parry, Cyril F. (2000), “Geometrical properties of some Euler and circular cubics (part 2)”, Journal of Geometry 68 (1–2): 58–75, doi:10.1007/BF01221061.
- EhrmannJean-Pierre & GibertBernard「A Morley configuration」『Forum Geometricorum』第1巻、51–58頁、2001年。.
- EhrmannJean-Pierre & GibertBernard「The Simson cubic」『Forum Geometricorum』第1巻、107–114頁、2001年。.
- GibertBernard「Orthocorrespondence and orthopivotal cubics」『Forum Geometricorum』第3巻、1–27頁、2003年。.
- Kimberling, Clark (1998), “Triangle Centers and Central Triangles”, Congressus Numerantium 129: 1–295. See Chapter 8 for cubics.
- KimberlingClark「Cubics associated with triangles of equal areas」『Forum Geometricorum』第1巻、161–171頁、2001年 。.
- Lang, Fred (2002), “Geometry and group structures of some cubics”, Forum Geometricorum 2: 135–146.
- Pinkernell, Guido M. (1996), “Cubic curves in the triangle plane”, Journal of Geometry 55 (1–2): 142–161, doi:10.1007/BF01223040.
- Salmon, George (1879), Higher Plane Curves (3rd ed.), Dublin: Hodges, Foster, and Figgis.
外部リンク
- A Catalog of Cubic Plane Curves (archived version)
- Points on Cubics
- Cubics in the Triangle Plane
- Special Isocubics in the Triangle Plane (pdf), by Jean-Pierre Ehrmann and Bernard Gibert
- “Real and Complex Cubic Curves - John Milnor, Stony Brook University [2016]”. YouTube. Graduate Mathematics (June 27, 2018). 2024年3月24日閲覧。 lecture in July 2016, ICMS, Edinburgh at conference in honour of Dusa McDuff's 70th birthday
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