アーネシの曲線

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アーネシの曲線

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/03/25 16:50 UTC 版)

アーネシの曲線。c = 1（赤）、2（青）、3（緑）

アーネシの曲線（アーネシのきょくせん） (伊: la versiera di Agnesi, 英: witch of Agnesi) またはアーネシの魔女は直交座標における方程式

${\displaystyle y={\frac {c^{3}}{x^{2}+c^{2}}}}$

アーネシの曲線

原点 O と y 軸上の点 M を結ぶ線分を直径とする円がある。 原点 O から円上の点 A に直線 OA を引く。 直線 OA は M から x 軸と平行に引いた直線と、点 N で交わる。 点 N から線分 OM と平行な直線を引き、これが点 A から x 軸と平行に引いた直線と交わる点を P とする。 A の変化につれて P が描く軌跡が、アーネシの曲線である。

方程式

アーネシの曲線をアニメーションで表現したもの

円の半径を a とすると（c=2a）、曲線の方程式はこうなる。

${\displaystyle y={\frac {8a^{3}}{x^{2}+4a^{2}}}}$

アーネシの曲線で a=1, a=2, a=4, a=8 としたグラフ

• y 軸に対して線対称であり、x 軸を漸近線とする。
• 変曲点は ${\displaystyle \left(-{\frac {2a}{\sqrt {3}}},{\frac {3a}{2}}\right),\left({\frac {2a}{\sqrt {3}}},{\frac {3a}{2}}\right)}$ である。

• 曲線と x 軸との間の領域の面積は、元の円の面積の4倍（つまり ${\displaystyle 4\pi a^{2}}$）になる。
• 上の領域の重心は、(0, a/2) である（元の円の重心は (0, a) である）。
• 曲線と x 軸を y 軸の周りに回転させてできる立体の体積は、${\displaystyle 4\pi ^{2}a^{3}}$ である。

歴史

この曲線の性質については、ピエール・ド・フェルマー（1630年）、Guido Grandi（伊）（1703年）、マリア・ガエターナ・アニェージ（1748年）の研究が知られている^[1]。

イタリアではこの曲線は la versiera di Agnesi と呼ばれており、その英訳は the curve of Agnesi であるが、ケンブリッジ大学の教授 John Colson の誤訳によって、witch of Agnesi とも呼ばれる^[2][3][4]。

"The Witch of Agnesi" は Robert Spiller による創作小説。

注記

1. ^ http://www.mathcurve.com/courbes2d/agnesi/agnesi.shtml
2. ^ Lynn M. Osen, Women in Mathematics, 1975, p. 45.
3. ^ サイモン・シン, Fermat's Enigma, p. 100.（サイモン・シン著、青木薫訳『フェルマーの最終定理』新潮社〈新潮文庫〉、2006年。ISBN 4-10-215971-1）
4. ^ David J. Darling, The universal book of mathematics: from Abracadabra to Zeno's paradoxes, 2004, p. 8.