複素関数として
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/26 16:11 UTC 版)
exp z, cos z, sin z の級数による定義から、オイラーの公式 exp (iz) = cos z + i sin z を導くことができる。この公式から下記の 2 つの等式 exp ( i z ) = e i z = cos z + i sin z , exp ( − i z ) = e − i z = cos z − i sin z {\displaystyle {\begin{aligned}\exp(iz)&=e^{iz}=\cos z+i\sin z,\\\exp(-iz)&=e^{-iz}=\cos z-i\sin z\end{aligned}}} が得られるから、これを連立させて解くことにより、正弦関数・余弦関数の指数関数を用いた表現が可能となる。すなわち、 cos z = e i z + e − i z 2 , sin z = e i z − e − i z 2 i {\displaystyle {\begin{aligned}\cos z&={\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}},\\\sin z&={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}\end{aligned}}} が成り立つ。この事実により、級数によらずこの等式をもって複素変数の正弦・余弦関数の定義とすることもある。また、 cos ( i z ) = e − z + e z 2 = cosh z , sin ( i z ) = e − z − e z 2 i = i sinh z {\displaystyle {\begin{aligned}\cos(iz)&={\frac {e^{-z}+e^{z}}{2}}=\cosh z,\\\sin(iz)&={\frac {e^{-z}-e^{z}}{2i}}=i\sinh z\end{aligned}}} が成り立つ。ここで cosh z, sinh z は双曲線関数を表す。この等式は三角関数と双曲線関数の関係式と捉えることもできる。複素数 z を z = x + iy (x, y ∈ R) と表現すると、加法定理より cos z = cos ( x + i y ) = cos x cosh y − i sin x sinh y , sin z = sin ( x + i y ) = sin x cosh y + i cos x sinh y {\displaystyle {\begin{aligned}\cos z&=\cos(x+iy)=\cos x\cosh y-i\sin x\sinh y,\\\sin z&=\sin(x+iy)=\sin x\cosh y+i\cos x\sinh y\end{aligned}}} が成り立つ。 他の三角関数は cscz = 1 / sinz, secz = 1 / cosz, tanz = sinz / cosz, cotz = cosz / sinz によって定義できる。 cos(x + iy) の実部のグラフ cos(x + iy) の虚部のグラフ sin(x + iy) の実部のグラフ sin(x + iy) の虚部のグラフ
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