表現論
(線型表現 から転送)
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表現論（ひょうげんろん、英: representation theory）とは、ベクトル空間の線型変換として代数構造を表現することで代数構造上の加群を研究する数学の一分野である[1]。本質的には、表現は抽象的な代数的構造を、その元と演算を行列と行列の和や行列の積で記述することで、より具体的にする。この記述で扱われる代数的対象には、群や結合代数やリー代数がある。これらの中で最も優れているものは、歴史的にも最初に現れた群の表現論であり、群の演算が行列の積で、群の要素が正則行列で表現されている[2]。
- ^ 表現論の古典的なテキストには Curtis & Reiner (1962) や Serre (1977) がある。他の優れた文献には Fulton & Harris (1991) や Goodman & Wallach (1998) がある。
- ^ 有限群の表現論の歴史は、Lam (1998) を参照。代数群やリー群については、Borel (2001) を参照。
- ^ a b ベクトル空間や線型代数には多くの教科書がある。進んだ扱いをしている教科書は、Kostrikin & Manin (1997)を参照。
- ^ Sally & Vogan 1989.
- ^ a b Sternberg 1994.
- ^ Lam 1998, p. 372.
- ^ a b c Folland 1995.
- ^ Goodman & Wallach 1998, Olver 1999, Sharpe 1997.
- ^ Borel & Casselman 1979, Gelbert 1984.
- ^ See the previous footnotes and also Borel (2001).
- ^ a b Simson, Skowronski & Assem 2007.
- ^ Fulton & Harris 1991, Simson, Skowronski & Assem 2007, Humphreys 1972.
- ^ このことについては、標準的な教科書、たとえば、Curtis & Reiner (1962), Fulton & Harris (1991), Goodman & Wallach (1998), Gordon & Liebeck (1993), Humphreys (1972), Jantzen (2003), Knapp (2001), Serre (1977) を参照.
- ^ a b Serre 1977
- ^ 次元 0 の表現 {0} は可約でも規約でもないと考えることができる。ちょうど、数 1 が合成数でも素数でもないと考えられることと同じである。
- ^ Alperin 1986, Lam 1998, Serre 1977.
- ^ Kim 1999.
- ^ Serre 1977, Part III
- ^ Alperin 1986.
- ^ See Weyl 1928.
- ^ Wigner 1939.
- ^ Borel 2001.
- ^ a b Knapp 2001.
- ^ a b Peter & Weyl 1927.
- ^ Bargmann 1947.
- ^ Pontrjagin 1934.
- ^ a b Weyl 1946.
- ^ a b c Fulton & Harris 1991.
- ^ Humphreys 1972a.
- ^ Kac 1990.
- ^ Kac 1977.
- ^ Humphreys 1972b, Jantzen 2003.
- ^ Olver 1999.
- ^ Mumford, Fogarty & Kirwan 1994.
- ^ Sharpe 1997.
- ^ Borel & Casselman 1979.
- ^ Gelbart 1984.
線型表現
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/08/31 15:03 UTC 版)
行列を用いると二重数は ε = ( 0 1 0 0 ) and a + b ε = ( a b 0 a ) {\displaystyle \varepsilon ={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad a+b\varepsilon ={\begin{pmatrix}a&b\\0&a\end{pmatrix}}} と表現することができる。このとき二重数の和と積は、通常の行列の和と行列の積によって計算することができ、両演算は可換かつ結合的である。 これは複素数の行列表現の類似であり、さらに言えば二次正方行列の分類（英語版）に二重数の概念が必要である。
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