積分の列的下半連続性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/30 09:02 UTC 版)
「変分法における直接解法」の記事における「積分の列的下半連続性」の解説
変分法における多くの汎函数は次の形式を取る： J ( u ) = ∫ Ω F ( x , u ( x ) , ∇ u ( x ) ) d x {\displaystyle J(u)=\int _{\Omega }F(x,u(x),\nabla u(x))dx} ここに Ω ⊆ R n {\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}} は開である。したがって、 W 1 , p ( Ω , R m ) {\displaystyle W^{1,p}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})} 内において J {\displaystyle J} が弱列的下半連続となるような函数 F {\displaystyle F} の特徴付けが非常に重要となる。 一般に、次が成り立つ。 F {\displaystyle F} は次を満たす函数とする。函数 ( y , p ) ↦ F ( x , y , p ) {\displaystyle (y,p)\mapsto F(x,y,p)} はほとんどすべての x ∈ Ω {\displaystyle x\in \Omega } に対して連続である； 函数 x ↦ F ( x , y , p ) {\displaystyle x\mapsto F(x,y,p)} はすべての ( y , p ) ∈ R m × R m n {\displaystyle (y,p)\in \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{mn}} に対して可測である； F ( x , y , p ) ≥ a ( x ) ⋅ p + b ( x ) {\displaystyle F(x,y,p)\geq a(x)\cdot p+b(x)} が、固定された a ∈ L q ( Ω , R m ) {\displaystyle a\in L^{q}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})} （但し 1 / q + 1 / p = 1 {\displaystyle 1/q+1/p=1} ）、固定された b ∈ L 1 ( Ω ) {\displaystyle b\in L^{1}(\Omega )} 、ほとんどすべての x ∈ Ω {\displaystyle x\in \Omega } とすべての ( y , p ) ∈ R m × R m n {\displaystyle (y,p)\in \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{mn}} に対して成り立つ（ここに a ( x ) ⋅ p {\displaystyle a(x)\cdot p} は、 R m n {\displaystyle \mathbb {R} ^{mn}} 内での a ( x ) {\displaystyle a(x)} と p {\displaystyle p} の内積を意味する ）。 次が成立する。函数 p ↦ F ( x , y , p ) {\displaystyle p\mapsto F(x,y,p)} がほとんどすべての x ∈ Ω {\displaystyle x\in \Omega } とすべての y ∈ R m {\displaystyle y\in \mathbb {R} ^{m}} に対して凸であるなら、 J {\displaystyle J} は列的に下半連続である。 n = 1 {\displaystyle n=1} あるいは m = 1 {\displaystyle m=1} のとき、逆のような次の定理が成立する。 F {\displaystyle F} は連続で、 | F ( x , y , p ) | ≤ a ( x , | y | , | p | ) {\displaystyle |F(x,y,p)|\leq a(x,|y|,|p|)} がすべての ( x , y , p ) {\displaystyle (x,y,p)} と、 y {\displaystyle y} と p {\displaystyle p} について増加で x {\displaystyle x} について局所可積分であるような固定された函数 a ( x , y , p ) {\displaystyle a(x,y,p)} に対して成立すると仮定する。このとき、 J {\displaystyle J} が列的に弱下半連続であるなら、任意の与えられた ( x , y ) ∈ Ω × R m {\displaystyle (x,y)\in \Omega \times \mathbb {R} ^{m}} に対して函数 p ↦ F ( x , y , p ) {\displaystyle p\mapsto F(x,y,p)} は凸となる。 結論として、 m = 1 {\displaystyle m=1} あるいは n = 1 {\displaystyle n=1} で、 F {\displaystyle F} について意義のある成長と有界性を仮定するとき、汎函数 J {\displaystyle J} が弱列的下半連続であるための必要十分条件は、函数 p ↦ F ( x , y , p ) {\displaystyle p\mapsto F(x,y,p)} が凸であることである。 n {\displaystyle n} と m {\displaystyle m} のいずれも 1 より大きいなら、凸性への必要性はより一般の凸性、すなわち多凸性や準凸性へと弱めることが出来る。
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