相対論におけるエネルギー
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/01/03 08:17 UTC 版)
「静止エネルギー」の記事における「相対論におけるエネルギー」の解説
特殊相対性理論によれば、運動する物体のエネルギーは次の式で表される。 E = m 2 c 4 + | p | 2 c 2 {\displaystyle E={\sqrt {m^{2}c^{4}+\left|{\boldsymbol {p}}\right|^{2}c^{2}}}} ここで、 E {\displaystyle E\,} はエネルギー、 m {\displaystyle m\,} は質量、 p {\displaystyle {\boldsymbol {p}}} は運動量、 c {\displaystyle c\,} は光速である。また、運動量 p {\displaystyle {\boldsymbol {p}}} と速度 v {\displaystyle {\boldsymbol {v}}} の関係は次の式で表される。 p = v E c 2 {\displaystyle {\boldsymbol {p}}={\frac {{\boldsymbol {v}}E}{c^{2}}}} これらから、エネルギーと速度の関係は次の様になる。 E = m c 2 1 − | v | 2 / c 2 {\displaystyle E={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-\left|{\boldsymbol {v}}\right|^{2}/c^{2}}}}} …（式1） この式をテイラー展開すると次の様になる。 E = m c 2 { 1 + 1 2 ( | v | c ) 2 + 3 8 ( | v | c ) 4 + 5 16 ( | v | c ) 6 + ⋯ } {\displaystyle E=mc^{2}\left\{1+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\left|{\boldsymbol {v}}\right|}{c}}\right)^{2}+{\frac {3}{8}}\left({\frac {\left|{\boldsymbol {v}}\right|}{c}}\right)^{4}+{\frac {5}{16}}\left({\frac {\left|{\boldsymbol {v}}\right|}{c}}\right)^{6}+\cdots \right\}} この式は、速度 v {\displaystyle {\boldsymbol {v}}} が光速に対して十分小さい ( | v | 2 ≪ c 2 {\displaystyle \left|{\boldsymbol {v}}\right|^{2}\ll c^{2}} ) 場合は、次のようになる。 E = m c 2 + 1 2 m | v | 2 {\displaystyle E=mc^{2}+{\frac {1}{2}}m\left|{\boldsymbol {v}}\right|^{2}} m c 2 {\displaystyle mc^{2}\,} は最初に述べた静止エネルギーであるので、結局式は次のようになる。 E = E 0 + 1 2 m | v | 2 {\displaystyle E=E_{0}+{\frac {1}{2}}m\left|{\boldsymbol {v}}\right|^{2}} つまり、速度が小さい場合は、質量 m {\displaystyle m\,} の物体が速度 v {\displaystyle {\boldsymbol {v}}} で動いている場合の運動エネルギーが 1 2 m | v | 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}m\left|{\boldsymbol {v}}\right|^{2}} になるというニュートン力学と同じ結論になる。 なお、式1を導出するのに、 E 0 = m c 2 {\displaystyle E_{0}=mc^{2}\,} の m {\displaystyle m\,} に相対論的質量 m r = m 1 − | v | 2 / c 2 {\displaystyle m_{r}={\frac {m}{\sqrt {1-{\left|{\boldsymbol {v}}\right|^{2}/c^{2}}}}}} を代入するという説明がなされることがあるが、正しい説明とは言えない。まず、相対論的質量という概念自体にあまり意味がない（相対論的質量を参照）。そして、 E 0 = m c 2 {\displaystyle E_{0}=mc^{2}\,} という式は、静止エネルギーと質量の関係を表している式であるから、相対論的質量という質量とは異なるものを代入して、運動している物体のエネルギーが得られるかどうかは定かではない。
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