直線束の場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/03 09:34 UTC 版)
「スティーフェル・ホイットニー類」の記事における「直線束の場合」の解説
直線束へ上記の構成を限定する、つまり、X 上の直線束の空間 Vect1(X) を考えることとする。直線のグラスマン多様体 Gr1 はまさに無限次の射影空間である。 P ∞ ( R ) = R ∞ / R ∗ , {\displaystyle \mathbf {P} ^{\infty }(\mathbf {R} )=\mathbf {R} ^{\infty }/\mathbf {R} ^{*},} これは、無限次元球面 S∞ によって対蹠的（英語版）に二重被覆されている。無限次元球面 S∞ は可縮であるので、 π 1 ( P ∞ ( R ) ) = Z / 2 Z π i ( P ∞ ( R ) ) = π i ( S ∞ ) = 0 i > 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{1}(\mathbf {P} ^{\infty }(\mathbf {R} ))&=\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} \\\pi _{i}(\mathbf {P} ^{\infty }(\mathbf {R} ))&=\pi _{i}(S^{\infty })=0&&i>1\end{aligned}}} を得る。従って、P∞(R) はアイレンベルグ・マックレーン空間（英語版）(Eilenberg-Maclane space) K(Z/2Z, 1) である。 アイレンベルグ・マックレーン空間の性質は次のような性質である。任意の X と η を生成子とする f → f*η により与えられる同型に対し、 [ X ; P ∞ ( R ) ] = H 1 ( X ; Z / 2 Z ) {\displaystyle [X;\mathbf {P} ^{\infty }(\mathbf {R} )]=H^{1}(X;\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )} であり、また、 H 1 ( P ∞ ( R ) ; Z / 2 Z ) = Z / 2 Z {\displaystyle H^{1}(\mathbf {P} ^{\infty }(\mathbf {R} );\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )=\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} } となる。第一の式を適用することは、α : [X, Gr1] → Vect1(X) も全射となり、全射である写像 w1 : Vect1(X) → H1(X; Z/2Z); を得る。このことが、直線束に対するスティーフェル・ホイットニー類 w1 を定義する。
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