球内でのハルナックの不等式の証明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/31 09:46 UTC 版)
「ハルナックの不等式」の記事における「球内でのハルナックの不等式の証明」の解説
ポアソンの公式より、 f ( x ) = 1 ω n − 1 ∫ | y − x 0 | = R R 2 − r 2 R | x − y | n ⋅ f ( y ) d y {\displaystyle \displaystyle {f(x)={1 \over \omega _{n-1}}\int _{|y-x_{0}|=R}{R^{2}-r^{2} \over R|x-y|^{n}}\cdot f(y)\,dy}} が成立する。ただし ωn − 1 は Rn 内の単位球面の面積であり、r = |x - x0| である。 今 R − r ≤ | x − y | ≤ R + r {\displaystyle \displaystyle {R-r\leq |x-y|\leq R+r}} であるため、上の被積分函数の中にある核は次の不等式評価を満たす。 R − r R ( R + r ) n − 1 ≤ R 2 − r 2 R | x − y | n ≤ R + r R ( R − r ) n − 1 . {\displaystyle \displaystyle {{R-r \over R(R+r)^{n-1}}\leq {R^{2}-r^{2} \over R|x-y|^{n}}\leq {R+r \over R(R-r)^{n-1}}.}} この不等式を上述の積分に代入し、調和函数の球面についての平均はその球面の中心での函数の値と等しい、すなわち f ( x 0 ) = 1 R n − 1 ω n − 1 ∫ | y − x 0 | = R f ( y ) d y {\displaystyle \displaystyle {f(x_{0})={1 \over R^{n-1}\omega _{n-1}}\int _{|y-x_{0}|=R}f(y)\,dy}} という事実を用いることで、ハルナックの不等式は示される。
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