正十五角形とは何？わかりやすく解説 Weblio辞書

十五角形

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/08/14 09:26 UTC 版)

十五角形（じゅうごかくけい、pentadecagon）は、多角形の一つで、15本の辺と頂点を持つ図形である。内角の和は2340°、対角線の本数は90本である。

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「十五角形」の記事における「正十五角形」の解説

正十五角形においては、中心角と外角は24°で、内角は156°となる。一辺の長さが a の正十五角形の面積Sは S = 15 4 a 2 cot ⁡ π 15 = 15 a 2 8 ( 3 + 15 + 2 5 + 5 ) ≃ 17.6424 a 2 {\displaystyle {\begin{aligned}S={\frac {15}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{15}}&={\frac {15a^{2}}{8}}\left({\sqrt {3}}+{\sqrt {15}}+{\sqrt {2}}{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}\right)\\&\simeq 17.6424a^{2}\end{aligned}}} cos ⁡ ( 2 π / 15 ) {\displaystyle \cos(2\pi /15)} は有理数と平方根の組み合わせのみで表せる cos ⁡ 2 π 15 = 1 + 5 8 + 30 − 6 5 8 = 1 8 ( 1 + 5 + 30 − 6 5 ) {\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{15}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{8}}+{\frac {\sqrt {30-6{\sqrt {5}}}}{8}}={\frac {1}{8}}\left(1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {30-6{\sqrt {5}}}}\right)}

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