定義と注意
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2015/10/23 21:06 UTC 版)
ヒルベルト空間 H 上の有界線型作用素 U: H → H がユニタリ作用素であるとは、それが U∗ U = UU∗ = Id を満足するときに言う。ただし、U∗ は U のエルミート共軛で Id: H → H は恒等作用素である。 上記よりも弱く、条件 U∗ U = Id のみを満たすものは等距作用素 (isometry) と呼ばれ、条件 UU∗ = Id を満たすものは余等距作用素 (coisometry) と呼ばれる。即ち、ユニタリ作用素は等距かつ余等距なる有界作用素である。 内積を用いれば、この定義は以下のように書き直すことができる。 ヒルベルト空間 H 上の有界線型作用素 U: H → H がユニタリであるとは、 U は全射であり、かつ U はヒルベルト空間 H の内積を保つ。即ち、H の任意のベクトル x, y に対して を満足する ときにいう。
※この「定義と注意」の解説は、「ユニタリ作用素」の解説の一部です。
「定義と注意」を含む「ユニタリ作用素」の記事については、「ユニタリ作用素」の概要を参照ください。
定義と注意
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/11/21 14:08 UTC 版)
ふたつの群 (G, ∗) と (H, ⋅) が与えられたとする。(G, ∗) から (H, ⋅) への群準同型とは、写像 h: G → H で、 h ( u ∗ v ) = h ( u ) ⋅ h ( v ) ( ∀ u , v ∈ G ) {\displaystyle h(u*v)=h(u)\cdot h(v)\qquad (\forall u,v\in G)} を満たすものである。ここで、左辺は G の元に対して G の群演算を施したものを h で写した先の H の元を意味し、右辺は G の各元を h で H の元に写したものに H の群演算を施したものである。 定義から、準同型写像 h は、G の単位元 eG を H の単位元 eH に写し、また h ( u − 1 ) = h ( u ) − 1 {\displaystyle h(u^{-1})=h(u)^{-1}} が成り立つという意味で逆元を逆元に写すということが示せる。このとき、「h は群構造と両立する(compatible with)」とも言う。 注意 古い記法では、h(x) は xh や xh と表記されていた。ただしこの記法では、何らかの指数や一般の添字などと混同しやすい。なお、より最近の記法では準同型を引数の右側から作用させるときは括弧を書かないというようなものもある。この場合 h(x) は単に xh と書ける。これは特に、オートマトンによる機械処理を行う分野で一般的である。オートマトンは左から右へ順番に読めばいいので処理しやすいためである。 群に何か別の構造が付加されている場合には、「準同型」という言葉は（上記のような）群構造だけではなくて、付加された構造についてもよく振舞うをこと意味していることもある。たとえば、位相群の準同型といえば、しばしば連続性も要求される。
※この「定義と注意」の解説は、「群準同型」の解説の一部です。
「定義と注意」を含む「群準同型」の記事については、「群準同型」の概要を参照ください。
- 定義と注意のページへのリンク
