回転楕円体から球への等角写像
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/06/11 13:45 UTC 版)
「等角写像」の記事における「回転楕円体から球への等角写像」の解説
回転楕円体（扁球）からの投影法についても同様にして等角写像を定義することができるが、投影法の表式に楕円積分を含むこととなり、解析的に求めることが難しい場合があるので、かつては既に知られた回転楕円体から球面への等角写像によって回転楕円体上の地物を球面に写像した後、球面からの正角図法で地図に投影することが行われた（二重投影）。 最も簡単なものは経度を変えないもので、地球楕円体の離心率を e {\displaystyle e\,\!} とするとき、地球楕円体上の地理緯度 φ {\displaystyle \varphi \,\!} から球面上の緯度（正角緯度） χ {\displaystyle \chi \,\!} は次のように与えられる: χ = gd ( gd − 1 ( φ ) − e tanh − 1 ( e sin φ ) ) {\displaystyle \chi =\operatorname {gd} \left(\operatorname {gd} ^{-1}(\varphi )-e\tanh ^{-1}(e\sin \varphi )\right)} ただし、 gd ( x ) {\displaystyle \operatorname {gd} (x)} はグーデルマン関数であり、 gd − 1 ( x ) {\displaystyle \operatorname {gd} ^{-1}(x)} はその逆関数を表す。 もうひとつの方法は経度方向に拡大を行う（つまり全球を写像すると重なりが出てしまう）代わりに緯度方向の縮尺の変化を抑えようとしたものである。投影しようとする範囲の中心地点の地理緯度を φ 0 {\displaystyle \varphi _{0}\,\!} 、経度を λ 0 {\displaystyle \lambda _{0}\,\!} とすると、この中心地点における縮尺係数の、投影先の球面緯度についての二階までの微分係数を0とする条件を課したとき、地球楕円体上の点 P ( φ , λ ) {\displaystyle P(\varphi ,\lambda )\,\!} は、球上の点 P ′ ( Φ , Λ ) {\displaystyle P'(\Phi ,\Lambda )\,\!} に次のようにして投影される： Φ = gd ( α { gd − 1 ( φ ) − gd − 1 ( φ 0 ) − e tanh − 1 ( e sin φ ) + e tanh − 1 ( e sin φ 0 ) } + tanh − 1 ( sin φ 0 α ) ) Λ = α ( λ − λ 0 ) α = 1 + e 2 cos 4 φ 0 1 − e 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\Phi &=\operatorname {gd} \left(\alpha \left\{\operatorname {gd} ^{-1}(\varphi )-\operatorname {gd} ^{-1}(\varphi _{0})-e\tanh ^{-1}(e\sin \varphi )+e\tanh ^{-1}(e\sin \varphi _{0})\right\}+\tanh ^{-1}\left({\frac {\sin \varphi _{0}}{\alpha }}\right)\right)\\\Lambda &=\alpha (\lambda -\lambda _{0})\\\alpha &={\sqrt {1+{\frac {e^{2}\cos ^{4}\varphi _{0}}{1-e^{2}}}}}\\\end{aligned}}} この投影法はガウス正角二重投影 (Gauss conformal double projection) と呼ばれ、戦前の日本においてもこの方法により平面直角座標系（旧座標系）が形成されていた。
※この「回転楕円体から球への等角写像」の解説は、「等角写像」の解説の一部です。
「回転楕円体から球への等角写像」を含む「等角写像」の記事については、「等角写像」の概要を参照ください。
- 回転楕円体から球への等角写像のページへのリンク
