周波数領域の伝達問題の例（H面導波路の伝達問題）
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/13 02:48 UTC 版)
「伝達問題」の記事における「周波数領域の伝達問題の例（H面導波路の伝達問題）」の解説
2次元問題であるH面導波路の伝達問題を例にとって説明する。領域内でMaxwellの方程式より、z成分電界 E z {\displaystyle E_{z}} は、次の支配方程式が成立する。 μ t − 1 ( ∂ 2 E z ∂ x 2 + ∂ 2 E z ∂ y 2 ) + k 0 2 ϵ r E z = 0 ( 1 ) {\displaystyle \mu _{t}^{-1}\left({\cfrac {\partial ^{2}E_{z}}{\partial x^{2}}}+{\cfrac {\partial ^{2}E_{z}}{\partial y^{2}}}\right)+k_{0}^{2}\epsilon _{r}E_{z}=0\ \ \ \ (1)} k 0 = ω μ 0 ϵ 0 {\displaystyle k_{0}=\omega {\sqrt {\mu _{0}\epsilon _{0}}}} は真空中波数、 ω {\displaystyle \omega } は角周波数、 μ 0 , ϵ 0 , μ r , ϵ r {\displaystyle \mu _{0},\epsilon _{0},\mu _{r},\epsilon _{r}} はそれぞれ、真空中透磁率、真空中誘電率、媒質の比透磁率、媒質の比誘電率である。 入出力導波路との境界面において、電界と磁界は固有モード f m ( y ) , g m ( y ) {\displaystyle f_{m}(y),g_{m}(y)} をつかって展開できる。 E z = ∑ m ( a m e − j β m x + b m e j β m x ) f m ( y ) ( 2 ) {\displaystyle E_{z}=\sum _{m}(a_{m}e^{-j\beta _{m}x}+b_{m}e^{j\beta _{m}x})f_{m}(y)\ \ \ \ (2)} H y = ∑ m ( a m e − j β m x − b m e j β m x ) g m ( y ) ( 3 ) {\displaystyle H_{y}=\sum _{m}(a_{m}e^{-j\beta _{m}x}-b_{m}e^{j\beta _{m}x})g_{m}(y)\ \ \ \ (3)} a m , b m {\displaystyle a_{m},b_{m}} はそれぞれ入力波、反射波の振幅である。 式(2),式(3)に入射波振幅を与えた時、式(1)を満たす領域内電界分布を求める問題になる。 電界分布が求まると、それを使って反射波振幅を求めることができる。 ガラーキン法を使って弱形式を導く。 電界を補間関数 N j {\displaystyle N_{j}} を使って表現し、重みも同じ補間関数 N i {\displaystyle N_{i}} を使うと、 ∑ j ∫ Ω μ r − 1 ∂ N i ∂ y ∂ N j ∂ y + μ r − 1 ∂ N i ∂ x ∂ N j ∂ x − k 0 2 ϵ r N i N j d Ω E z = ∫ Γ μ r − 1 N i ∂ E z ∂ n d Γ ( 4 ) {\displaystyle \sum _{j}\int _{\Omega }\mu _{r}^{-1}{\cfrac {\partial N_{i}}{\partial y}}{\cfrac {\partial N_{j}}{\partial y}}+\mu _{r}^{-1}{\cfrac {\partial N_{i}}{\partial x}}{\cfrac {\partial N_{j}}{\partial x}}-k_{0}^{2}\epsilon _{r}N_{i}N_{j}d\Omega E_{z}=\int _{\Gamma }\mu _{r}^{-1}N_{i}{\cfrac {\partial E_{z}}{\partial n}}d\Gamma \ \ \ \ (4)} n {\displaystyle n} は境界の法線方向ベクトルである。 (4)式の右辺は境界上の磁界を使って表すことができ、 n = − x {\displaystyle n=-x} として − ∫ Γ μ r − 1 N i ∂ E z ∂ x d Γ = − j ω μ 0 ∫ Γ N i H y d Γ {\displaystyle -\int _{\Gamma }\mu _{r}^{-1}N_{i}{\cfrac {\partial E_{z}}{\partial x}}d\Gamma =-j\omega \mu _{0}\int _{\Gamma }N_{i}H_{y}d\Gamma } = − j ω μ 0 ∫ Γ N i ∑ m ( a m − b m ) g m d Γ ( 5 ) {\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ =-j\omega \mu _{0}\int _{\Gamma }N_{i}\sum _{m}(a_{m}-b_{m})g_{m}d\Gamma \ \ \ \ (5)} また、固有モードの規格化条件 ∫ Γ f m ( y ) g m ∗ ( y ) d Γ = − β m ∗ | β m | ( 6 ) {\displaystyle \int _{\Gamma }f_{m}(y)g_{m}^{*}(y)d\Gamma =-{\cfrac {\beta _{m}^{*}}{|\beta _{m}|}}\ \ \ \ (6)} より、 ∫ Γ E z g m ′ d Γ = − β m ′ | β m ′ | ( a m e − j β x + b m e j β x ) ( 7 ) {\displaystyle \int _{\Gamma }E_{z}g_{m'}d\Gamma =-{\cfrac {\beta _{m'}}{|\beta _{m'}|}}(a_{m}e^{-j\beta x}+b_{m}e^{j\beta x})\ \ \ \ (7)} 式(7)から b m {\displaystyle b_{m}} を求めると、 b m ′ = − a m ′ e − 2 j β x − | β m ′ | β m ′ ∗ e − j β m ′ x ∫ Γ E z g m ′ d Γ ( 8 ) {\displaystyle b_{m'}=-a_{m'}e^{-2j\beta x}-{\cfrac {|\beta _{m'}|}{\beta _{m'}^{*}}}e^{-j\beta _{m'}x}\int _{\Gamma }E_{z}g_{m'}d\Gamma \ \ \ \ (8)} これを式(5)に代入すると未知数が E z {\displaystyle E_{z}} のみになる。これを解く。 ∑ j ( ∫ Ω μ r − 1 ∂ N i ∂ y ∂ N j ∂ y + μ r − 1 ∂ N i ∂ x ∂ N j ∂ x − k 0 2 ϵ r N i N j d Ω {\displaystyle \sum _{j}{\Big (}\int _{\Omega }\mu _{r}^{-1}{\cfrac {\partial N_{i}}{\partial y}}{\cfrac {\partial N_{j}}{\partial y}}+\mu _{r}^{-1}{\cfrac {\partial N_{i}}{\partial x}}{\cfrac {\partial N_{j}}{\partial x}}-k_{0}^{2}\epsilon _{r}N_{i}N_{j}d\Omega } + j ω μ 0 ∑ m β m | β m | ∫ Γ N i μ r − 1 f m d Γ ∑ j ∫ Γ μ r − 1 f m ∗ d Γ ) E z j = j 2 a 0 ∫ Γ N i μ r − 1 f 0 d Γ ( 9 ) {\displaystyle +{\cfrac {j}{\omega \mu _{0}}}\sum _{m}\beta _{m}|\beta _{m}|\int _{\Gamma }N_{i}\mu _{r}^{-1}f_{m}d\Gamma \sum _{j}\int _{\Gamma }\mu _{r}^{-1}f_{m}^{*}d\Gamma {\Big )}E_{zj}=j2a_{0}\int _{\Gamma }N_{i}\mu _{r}^{-1}f_{0}d\Gamma \ \ \ \ (9)} または、 [ A ] { E z } + [ B ] { E z } | Γ = { f } | Γ ( 10 ) {\displaystyle [A]\{E_{z}\}+[B]\{E_{z}\}|_{\Gamma }=\{f\}|_{\Gamma }\ \ \ \ (10)} 式(9)または式(10)を解いて E z {\displaystyle E_{z}} の分布が求まれば、入出力導波路境界上の反射、透過係数は式(8)より求まる。
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