可算コンパクト、点列コンパクト、擬コンパクト
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/13 08:36 UTC 版)
「コンパクト空間」の記事における「可算コンパクト、点列コンパクト、擬コンパクト」の解説
これらの概念は以下のように定義される。点列コンパクトの定義は前の章ですでに述べたがが再掲している： 名称名称（英語）定義可算コンパクト countably compact space Xの任意の可算開被覆 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} は有限部分開被覆 T ⊂ S {\displaystyle {\mathcal {T}}\subset {\mathcal {S}}} を持つ。ここでXの可算開被覆 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} とは開被覆で可算集合であるものをいう。 点列コンパクト sequentially compact space X 上の任意の点列は収束部分列を持つ事を指す。すなわち X 上の任意の点列 { x n } n ∈ N {\displaystyle \{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }} に対し適当な部分列 { x n i } i ∈ N {\displaystyle \{x_{n_{i}}\}_{i\in \mathbb {N} }} を取れば { x n i } i ∈ N {\displaystyle \{x_{n_{i}}\}_{i\in \mathbb {N} }} は X 上のいずれかの点に収束する事を指す。点列コンパクト性の事を点列に対するボルツァーノ・ワイエルシュトラス性とも言う。 擬コンパクト pseudocompact Xから実数体への連続関数 f が必ず有界となる これらの概念は以下の関係性を満たす： 定理 ― コンパクト⇒点列コンパクト⇒可算コンパクト⇒擬コンパクト。 擬距離化可能な空間ではこれら４つの概念は同値である： 定理 (擬距離化可能空間における同値性) ― ( X , O ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}})} を位相空間とする。Xが擬距離化可能空間であれば、コンパクト、可算コンパクト、点列コンパクト、擬コンパクトは同値。 Xが擬距離化可能とは限らない場合はこれらは同値とは限らないが、以下のような関係を満たす： 定理 ― ( X , O ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}})} を位相空間とする。 Xが第一可算公理を満せば、Xの点列コンパクト性と可算コンパクト性は同値。 Xがパラコンパクト（後述）で擬コンパクトならコンパクト。
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