双線型な乗法と双対空間
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/13 01:38 UTC 版)
「双対ベクトル空間」の記事における「双線型な乗法と双対空間」の解説
V が有限次元のとき、V はその双対 V* とは同型であるが、それらの間に自然な同型は存在しない。V 上の任意の双線型形式 ⟨•,•⟩ は V から双対 V* への写像 v ↦ ⟨ v , ⋅ ⟩ {\displaystyle v\mapsto \langle v,\cdot \rangle } を与える。この右辺は 各 w ∈ V をスカラー ⟨v,w⟩ へ写す V 上の線型汎函数である。即ち、双線型形式は線型写像 Φ ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ : V → V ∗ ; [ Φ ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ ( v ) , w ] = ⟨ v , w ⟩ {\displaystyle \Phi _{\langle \cdot ,\cdot \rangle }\colon V\to V^{*};\;[\Phi _{\langle \cdot ,\cdot \rangle }(v),w]=\langle v,w\rangle } を定義するのである。もとの双線型形式が非退化ならば、この線型写像は V* の中への同型を与える。特に V が有限次元ならば V* の上への同型である。逆に、V から V* の部分集合（あるいは V* 全体）への任意の同型 Φ は、 ⟨ v , w ⟩ Φ = ( Φ ( v ) ) ( w ) = [ Φ ( v ) , w ] {\displaystyle \langle v,w\rangle _{\Phi }=(\Phi (v))(w)=[\Phi (v),w]} と置くことにより、V 上の非退化双線型形式 ⟨•,•⟩Φ を一意的に定める。従って、V から V* の部分集合（あるいは V* 全体）への同型写像と V 上の非退化双線型形式との間には一対一対応が存在する。 ベクトル空間 V が複素線型ならば、双線型形式よりも半双線型形式を考えたほうが自然なこともある。この場合、半双線型形式 ⟨•,•⟩ は V からその双対空間の複素共軛（英語版）への線型写像 Φ ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ : V → V ¯ ∗ {\displaystyle \Phi _{\langle \cdot ,\cdot \rangle }\colon V\to {\bar {V}}^{*}} を定める。共軛空間 V* は加法的複素数値函数 f: V → C で f ( α v ) = α ¯ f ( v ) {\displaystyle f(\alpha v)={\overline {\alpha }}f(v)} を満たすもの全体の成すベクトル空間と同一視される。
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