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伊藤の補題

読み方：いとうのほだい
【英】：Itô's lemma

拡散過程 $X_t \,$ の微小時間 $dt \,$ での平均が $\mu (t, X_t) {\mbox{d}}t \,$ , 分散が $\sigma^2 (t,X_t) {\mbox{d}}t \,$ で与えられるとき, 確率微分方程式では

${\mbox{d}}X_t=\mu(t,X_t){\mbox{d}}t +\sigma (t,X_t) {\mbox{d}}B_t \,$

と表現する. ここで $B_t \,$ はブラウン運動である. さらに $Y_t=g(t,X_t) \,$ と変換すると, $Y_t \,$ は伊藤の補題により,

$\mbox{d}Y_t = g_t(t, X_t) \mbox{d}t + g_x(t, X_t) \mbox{d}X_t + (1/2)g_{xx}(t, X_t)(\mbox{d} X_t)^2 \,$

を満たす.

ただし $({\mbox{d}}X_t)^2 \,$ は, 計算規則

${\mbox{d}}t \cdot {\mbox{d}}t = {\mbox{d}}t \cdot {\mbox{d}}B_t = {\mbox{d}}B_t \cdot {\mbox{d}}t = 0, \ \ {\mbox{d}}B_t \cdot {\mbox{d}}B_t={\mbox{d}}t \,$

により与えられる.

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伊藤の補題

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2009/08/18 16:18 UTC 版)

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確率論において、伊藤の補題（いとうのほだい、Ito's lemma）は、日本人数学者・伊藤清による、ランダムな要因を持つ確率過程に関する定理。

デリバティブのような数理ファイナンスなどで利用される。

ステイトメント

第 1 補題

f がブラウン運動 $W t$ 上の実数値関数とし、 $W t$ について3回以上微分可能とすると

$df(W_t) = f'(W_t)dW_t + \frac{1}{2} f''(W_t)dt$

が成立する。

つまり、ブラウン運動上の実数値関数をテイラー展開すると、3次以上の項は0となる。すなわち、2次までのテイラー展開の剰余項が0となることがわかる。（証明は伊藤ルールを使って2次までのテイラー展開の剰余項が0になることを示せばよい。）

伊藤ルールとこれを組み合わせて次のような計算ができる。

$de^{W_t^2}= 2W_t e^{W_t^2} dW_t + (e^{W_t^2} + 2W_t^2 e^{W_t^2} )dt$

第 2 補題

f がブラウン運動 $W t$ 上の実数値関数関数とし, $W t$ について3回以上偏微分可能とすると

$df = \frac{\partial f}{\partial W_t} dW_t + \left(\frac{\partial f}{\partial t} + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial W_t^2}\right)dt$

が成立する。

第 3 補題

確率過程 ${X t}$ が確率微分方程式

$d X t = f (X t, t) d W t + g (X t, t) d t$

に従っているとき, h がブラウン運動 $W t$ 上の実数値関数関数とし、 $W t$ について3 回以上偏微分可能とすると

$dh = \frac{\partial h}{\partial X_t}f(X_t ,t) dW_t + \left\{\frac{\partial h}{\partial t} + \frac{\partial h}{\partial X_t}g(X,t) + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 h}{\partial X_t^2}(f(X_t ,t))^2 \right\} dt$

が成立する。

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