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伊藤の補題

読み方：いとうのほだい
【英】：Itô's lemma

拡散過程 $X_t \,$ の微小時間 $dt \,$ での平均が $\mu (t, X_t) {\mbox{d}}t \,$ , 分散が $\sigma^2 (t,X_t) {\mbox{d}}t \,$ で与えられるとき, 確率微分方程式では

${\mbox{d}}X_t=\mu(t,X_t){\mbox{d}}t +\sigma (t,X_t) {\mbox{d}}B_t \,$

と表現する. ここで $B_t \,$ はブラウン運動である. さらに $Y_t=g(t,X_t) \,$ と変換すると, $Y_t \,$ は伊藤の補題により,

$\mbox{d}Y_t = g_t(t, X_t) \mbox{d}t + g_x(t, X_t) \mbox{d}X_t + (1/2)g_{xx}(t, X_t)(\mbox{d} X_t)^2 \,$

ただし $({\mbox{d}}X_t)^2 \,$ は, 計算規則

${\mbox{d}}t \cdot {\mbox{d}}t = {\mbox{d}}t \cdot {\mbox{d}}B_t = {\mbox{d}}B_t \cdot {\mbox{d}}t = 0, \ \ {\mbox{d}}B_t \cdot {\mbox{d}}B_t={\mbox{d}}t \,$

により与えられる.

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伊藤の補題

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2011/12/15 12:27 UTC 版)

ウィーナー過程の一試行（青線）の伊藤積分（緑線）の例

伊藤の補題(いとうのほだい）は確率微分方程式の確率過程に関する積分を簡便に計算するための方法。

^ 伊藤清『確率論』岩波書店、1991年。 5.15 章
^ 同書 5.16 章
^ 同書定理 5.38
^ 同書補題 5.11

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