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ブラウン-うんどう 5 【―運動】

気体または液体中に浮遊する微粒子が行う不規則な運動。まわりの熱運動をする気体または液体の分子が、微粒子に不規則に衝突する結果起こる。1827年ブラウン(3)が、水中に浮遊する花粉粒を顕微鏡で観察している際に発見。のちに物理学者により研究され、アインシュタイン・ランジュバンにより理論化された。

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ブラウン運動

読み方：ぶらうんうんどう
【英】：Brownian motion

概要

次の性質を満たす実数値連続確率過程 $\{B(t)\}_{t\ge0}$ .
(1) 重ならない区間における $\{B(t)\}_{t\ge 0}$ の増分は互いに独立.
(2) $B(s+t)-B(s)\,$ は平均0, 分散 $\sigma^2 t\,$ の正規分布にしたがう.
(3) $B(0)=0\,$ かつ $B(t)\,$ は $t=0\,$ で連続.
拡散係数 $\sigma^2=1\,$ のときを標準ブラウン運動, $B_d(t) = \mu\,t + B(t)$ をドリフトをもつブラウン運動と呼び, $\mu\,$ をドリフト係数と呼ぶ.

詳説

ランダム・ウォーク (random walk) とその連続化であるブラウン運動は, でたらめな動きを表現する最も基本的な確率過程で, 幅広い応用がある.

ランダム・ウォーク $\{X_n\}_{n=1}^\infty\,$ を互いに独立で同一の分布に従う確率変数の列とするとき,

$S_0=s~$ (定数), $\ \qquad S_n = s + \sum_{i=1}^n X_i$ $(1)\,$

によって定義される確率過程 $\{S_n\}_{n=0}^\infty\,$ をランダム・ウォークと呼ぶ. 特に, ある $d>0\,$ およびすべての $n\,$ に対して, $\mathrm{P}(X_n=d)=p, \mathrm{P}(X_n=-d)=q=1-p\,$ であるとき, $\{S_n\}_{n=0}^\infty\,$ は (1次元の) 単純ランダム・ウォークであるといい, さらに $p=q=1/2\,$ のとき, 単純ランダム・ウォークは対称であるという. また, 「壁」によって動きが止められたり, 動く範囲が制限されるランダム・ウォークを考えることもできる. $X_n\,$ の独立性より, ランダム・ウォークはマルコフ過程となる.

初期値 $s=0\,$ のランダム・ウォークにおいて, $n\,$ ステップ後の位置の期待値と分散は, それぞれ $\mathrm{E}(S_n)=n\,\mathrm{E}(X_1)\,$ , $\mathrm{V}(S_n)=n\,\mathrm{V}(X_1)\,$ となり, 時間の経過に比例する. 分散が時間の経過に比例することから, ランダム・ウォークは時間が経つにつれて次第に拡散していくことが分かる.

$d=1\,$ , $0<p<1\,$ として得られる単純ランダム・ウォーク $\{S_n\}_{n=0}^\infty\,$ は, 整数を状態空間とする周期2の既約なマルコフ連鎖である. このマルコフ連鎖は $p\ne1/2\,$ のとき一時的であり, $p=q=1/2\,$ ならば零再帰的となる. たとえば $p>1/2\,$ ならば $S_n\,$ はだんだん大きくなっていく傾向があり, 正の方へドリフトする. このため出発点に戻ることは保証できなくなり一時的となるのである.

2次元の対称な単純ランダム・ウォーク(2次元格子点空間上の4つの隣接点にそれぞれ確率 $1/4\,$ で推移する) は零再帰的, 3次元以上の単純ランダム・ウォークはすべて一時的であることも知られている [1].

単純ランダム・ウォークからブラウン運動へ $\{S_n\}_{n=0}^\infty\,$ を初期値 $s=0\,$ の対称な単純ランダム・ウォークとする. このランダム・ウォークが1ステップ進むのに $T\,$ だけ時間がかかるとして, $T\,$ と $d\,$ を同時に0に近づけることを考える. $t=n\,T\,$ に対して, 時刻 $t\,$ にランダム・ウォークが $x\,$ にいる確率を $v(x,t)\,$ と表すと, $v(x,t)\,$ は差分方程式 $v(x,t+T) = \{ v(x-d,t) + v(x+d,t) \}/2\,$ を満たすので,

$\frac{v(x,t+T) - v(x,t)}{T} = \frac{1}{2}\ \frac{d^2}{T}\ \frac{v(x+d,t) - 2\,v(x,t) + v(x-d,t)}{d^2}$

が得られる. $d^2/T=\sigma^2\,$ (定数) を保ったまま $T\to0 (d\to0)\,$ とすれば

$\frac{\partial v(x,t)}{\partial t} = \frac{\sigma^2}{2}\ \frac{\partial^2 v(x,t)}{\partial x^2}$ $(2)\,$

を得る. 式 (2) は拡散方程式 (diffusion equation) と呼ばれ, その解は初期条件 $v(0,0)=1\,$ , $v(x,0)=0 (x\ne0)\,$ のもとで, 正規分布 $N(0,\sigma^2\,t)\,$ の密度関数となる. より一般的には, 初期値が0の (必ずしも対称でない) 単純ランダム・ウォークにおいて, $d^2/T=\sigma^2\,$ , $(p-q)/d=\mu/\sigma^2\,$ を保ったまま $T\to0\,$ とすると, 時刻 $t\,$ での位置が正規分布 $N(\mu\,t,\sigma^2\,t)\,$ に従う確率過程が得られる [1].

ブラウン運動 イギリスの植物学者ブラウン (R. Brown) は, 水面に浮く花粉中の微粒子が極めて不規則な動きをすることを見いだした. アインシュタイン (A. Einstein) は, この運動が拡散方程式 (2) によって特徴づけられることを示し, その後ウィナー (N. Wiener) らによって確率過程としての基盤が築かれた. この確率過程をブラウン運動 (Brownian motion) またはウィーナー過程 (Wiener process) と呼ぶ.

(1次元の) ブラウン運動 $\{B(t)\}_{t\ge0}\,$ は次の性質を満たす実数値確率過程である:

1. 独立増分過程である.

2. 任意の $s\,$ , $t>0\,$ に対して $B(s+t)-B(s)\,$ は正規分布 $N(0,\sigma^2\,t)\,$ に従う.

3. $B(0)=0\,$ かつ $B(t)\,$ は $t=0\,$ で連続.

1. より, 時刻 $s\,$ 以降の $\{B(t)\}_{t\ge s}\,$ の振る舞いは $s\,$ までの履歴には依存しないため, ブラウン運動はマルコフ過程である. さらに, ブラウン運動が強マルコフ性を持つこと, 標本路が連続となることも知られている [2].

$\sigma^2\,$ を拡散係数と呼び, 特に $\sigma^2=1\,$ のブラウン運動を標準ブラウン運動と呼ぶ. また, $B_d(t) = \mu\,t + B(t)\,$ によって定まる $\{B_d(t)\}_{t\ge0}\,$ をドリフトを持つブラウン運動と呼び, $\mu\,$ をドリフト係数と呼ぶ.

鏡像原理 ドリフトのないブラウン運動 $\{B(t)\}_{t\ge0}\,$ に対して $\tau_a\,$ を $\{B(t)\}_{t\ge0}\,$ が初めて $a\,$ を横切る時刻とすると, $\tau_a\,$ は停止時 (stopping time) となる. $t\ge\tau_a\,$ において $\{B(t)\}_{t\ge\tau_a}\,$ と $a\,$ に関して対称な標本路を持つ確率過程 $\{\bar{B}(t)\}_{t\ge0}\,$ を

$\bar{B}(t) = \left\{\begin{array}{ll} B(t), &\quad t<\tau_a, \\ 2\,a - B(t), &\quad t\ge\tau_a, \end{array}\right.$

で定める. $\{B(t)\}_{t\ge0}\,$ が強マルコフ性を持つことと, $\{B(t)\}\,$ と $\{\bar{B}(t)\}\,$ の対称性から, $\{B(t)\}\,$ と $\{\bar{B}(t)\}\,$ は同じ確率法則に従うことがわかる. 一般にこのような性質を鏡像原理 (reflection principle) と呼び, 初到達時間の分布などを求める際に利用される.

拡散過程 ドリフト係数や拡散係数が位置 $x\,$ や時刻 $t\,$ に依存した値 $\mu(x,t)\,$ , $\sigma^2(x,t)\,$ をとるように一般化して得られる確率過程 $\{D(t)\}_{t\ge0}\,$ を拡散過程 (diffusion process) と呼び, $\mu(x,t)\,$ と $\sigma^2(x,t)\,$ を, それぞれドリフト関数, 拡散関数と呼ぶ. 拡散過程は強マルコフ性を持ち, その標本路は連続である. 逆に, 連続な標本路を持つマルコフ過程は拡散過程となることが知られている.

ブラウン運動や拡散過程の標本路は, 連続であるがいたるところで微分不可能という性質を持っている. このため拡散過程の解析においては, 確率積分や確率微分方程式といった通常の微分や積分とは異なる概念が必要となる [3, 4].

参考文献

[1] W. Feller, An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Volume 1, 2nd Ed., John Wiley & Sons, 1957. 河田龍夫監訳, 『確率論とその応用 I』, 紀伊国屋書店, 1960 (上巻), 1961 (下巻).

[2] K. Itô and H. P. McKean, Diffusion Processes and Their Sample Paths, Second Printing, Springer-Verlag, 1996.

[3] 木島正明, 『ファイナンス工学入門第I部ランダムウォークとブラウン運動』, 日科技連, 1994.

[4] 渡辺信三, 『確率微分方程式』, 産業図書, 1975.

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確率と確率過程：

シミュレーションチャップマン・コルモゴロフの等式ファイナンシャルエンジニアリングブラウン運動ブロックガウス・ザイデル法ポアソン分布ポアソン過程

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ブラウン運動

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2011/08/27 04:53 UTC 版)

2次元でのブラウン運動の1000ステップ分のシミュレーションの例。運動の起点は (0, 0) である。各ステップの x成分とy成分は独立で、分散は2で平均は0の正規分布に従う。数学的なモデルでは、ステップは不連続ではないと仮定している。

ブラウン運動（ブラウンうんどう、英語：Brownian motion）とは、液体のような溶媒中（媒質としては気体、固体もあり得る）に浮遊する微粒子（例：コロイド）が、不規則（ランダム）に運動する現象である。1827年（1828年という記述もあり）、ロバート・ブラウンが、水の浸透圧で破裂した花粉から水中に流出し浮遊した微粒子を、顕微鏡下で観察中に発見した。^[1]

長い間原因が不明のままであったが、1905年、アインシュタインにより、熱運動する媒質の分子の不規則な衝突によって引き起こされる現象であるとして説明する理論が発表された。(この成果より、当時認められていなかった原子および分子の存在が初めて具体的に確認された。)^[2]

ブラウン運動はかなり広い意味で使用されることもあり、類似した現象として、電気回路における熱雑音^[3]^[4](ランジュバン方程式)や、希薄な気体中に置かれた、微小な鏡の不規則な振動（気体分子による）などもブラウン運動の範疇として説明される。

脚注

[続きの解説]

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ブラウン運動に関連した本

ブラウン運動 (物理学One Point) 米沢富美子 共立出版
ランダムウォークとブラウン運動 (ファイナンス工学入門) 木島正明 日科技連出版社
ブラウン運動と確率積分 S.E. シュレーブ シュプリンガー・フェアラーク東京

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