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伊藤の補題

読み方：いとうのほだい
【英】：Itô's lemma

拡散過程 $X_t \,$ の微小時間 $dt \,$ での平均が $\mu (t, X_t) {\mbox{d}}t \,$ , 分散が $\sigma^2 (t,X_t) {\mbox{d}}t \,$ で与えられるとき, 確率微分方程式では

${\mbox{d}}X_t=\mu(t,X_t){\mbox{d}}t +\sigma (t,X_t) {\mbox{d}}B_t \,$

と表現する. ここで $B_t \,$ はブラウン運動である. さらに $Y_t=g(t,X_t) \,$ と変換すると, $Y_t \,$ は伊藤の補題により,

$\mbox{d}Y_t = g_t(t, X_t) \mbox{d}t + g_x(t, X_t) \mbox{d}X_t + (1/2)g_{xx}(t, X_t)(\mbox{d} X_t)^2 \,$

を満たす.

ただし $({\mbox{d}}X_t)^2 \,$ は, 計算規則

${\mbox{d}}t \cdot {\mbox{d}}t = {\mbox{d}}t \cdot {\mbox{d}}B_t = {\mbox{d}}B_t \cdot {\mbox{d}}t = 0, \ \ {\mbox{d}}B_t \cdot {\mbox{d}}B_t={\mbox{d}}t \,$

により与えられる.

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