人口動態があり人口一定のSIRモデル
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/08/07 14:13 UTC 版)
「疫学における区画モデル」の記事における「人口動態があり人口一定のSIRモデル」の解説
死亡率 μ {\displaystyle \mu } および出生率 Λ {\displaystyle \Lambda } によって特徴付けられ、伝染病が蔓延している母集団を考えてみる。質量作用伝播を持つモデルは d S d t = Λ − μ S − β I S N d I d t = β I S N − γ I − μ I d R d t = γ I − μ R {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dS}{dt}}&=\Lambda -\mu S-{\frac {\beta IS}{N}}\\[8pt]{\frac {dI}{dt}}&={\frac {\beta IS}{N}}-\gamma I-\mu I\\[8pt]{\frac {dR}{dt}}&=\gamma I-\mu R\end{aligned}}} であり、このモデルに対する感染症の無い平衡解（disease-free equilibrium: DFE）は ( S ( t ) , I ( t ) , R ( t ) ) = ( Λ μ , 0 , 0 ) {\displaystyle \left(S(t),I(t),R(t)\right)=\left({\frac {\Lambda }{\mu }},0,0\right)} である。 この場合、基本再生産数 R 0 = β Λ μ ( μ + γ ) {\displaystyle R_{0}={\frac {\beta \Lambda }{\mu (\mu +\gamma )}}} を導出することができ、これは閾値特性を有さない。実際、生物学的に意味を持つ初期値から独立に、以下を示すことができる。 R 0 ≤ 1 ⇒ lim t → ∞ ( S ( t ) , I ( t ) , R ( t ) ) = DFE = ( Λ μ , 0 , 0 ) {\displaystyle R_{0}\leq 1\Rightarrow \lim _{t\to \infty }(S(t),I(t),R(t))={\textrm {DFE}}=\left({\frac {\Lambda }{\mu }},0,0\right)} R 0 > 1 , I ( 0 ) > 0 ⇒ lim t → ∞ ( S ( t ) , I ( t ) , R ( t ) ) = EE = ( γ + μ β , μ β ( R 0 − 1 ) , γ β ( R 0 − 1 ) ) {\displaystyle R_{0}>1,I(0)>0\Rightarrow \lim _{t\to \infty }(S(t),I(t),R(t))={\textrm {EE}}=\left({\frac {\gamma +\mu }{\beta }},{\frac {\mu }{\beta }}\left(R_{0}-1\right),{\frac {\gamma }{\beta }}\left(R_{0}-1\right)\right)} 点EEはエンデミックな平衡解（Endemic Equilibrium）と呼ばれる（疫病は根絶されず、母集団に留まる）。ヒューリスティックな論証（英語版）によって、 R 0 {\displaystyle R_{0}} は完全に感受性な集団の中で1人の感染者によって引き起こされた平均感染数として読めることを示すことができる。上記の関係は、生物学的には、この数が1以下であれば病気は絶滅し、1以上であれば病気は永久に集団の中で流行し続けることを意味する。
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