ロバートソンの不等式の証明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/01 08:40 UTC 版)
「不確定性原理」の記事における「ロバートソンの不等式の証明」の解説
本節の証明は引用文献H13p243を参考にした。ψが定理の条件を満たす時 [ A ^ , B ^ ] ψ = A ^ B ^ ψ − B ^ A ^ ψ {\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\psi ={\hat {A}}{\hat {B}}\psi -{\hat {B}}{\hat {A}}\psi } が定義可能であることは既に見たので、以下不等式が成り立つことの証明のみに注力する。記法を簡単にするため A ^ ′ := A ^ − ⟨ A ^ ⟩ ψ I B ^ ′ := B ^ − ⟨ B ^ ⟩ ψ I {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {A}}'&:={\hat {A}}-\langle {\hat {A}}\rangle _{\psi }I\\{\hat {B}}'&:={\hat {B}}-\langle {\hat {B}}\rangle _{\psi }I\end{aligned}}} とする。単位行列Iが H {\displaystyle {\mathcal {H}}} の全域で定義されている事を利用すると、ψの条件 ψ ∈ D o m ( A ^ ) ∩ D o m ( B ^ ) {\displaystyle \psi \in \mathrm {Dom} ({\hat {A}})\cap \mathrm {Dom} ({\hat {B}})} 、 B ^ ψ ∈ D o m ( A ^ ) {\displaystyle {\hat {B}}\psi \in \mathrm {Dom} ({\hat {A}})} 、 A ^ ψ ∈ D o m ( B ^ ) {\displaystyle {\hat {A}}\psi \in \mathrm {Dom} ({\hat {B}})} より、 A ^ ′ ψ {\displaystyle {\hat {A}}'\psi } 、 B ^ ′ ψ {\displaystyle {\hat {B}}'\psi } 、 A ^ ′ B ^ ′ ψ {\displaystyle {\hat {A}}'{\hat {B}}'\psi } 、 B ^ ′ A ^ ′ ψ {\displaystyle {\hat {B}}'{\hat {A}}'\psi } がいずれも定義可能である事が簡単な議論で分る。 コーシー・シュワルツの不等式により、 ( Δ ψ A ^ ) 2 ( Δ ψ B ^ ) 2 = ‖ A ^ ′ ψ ‖ 2 ‖ B ^ ′ ψ ‖ 2 ≥ | ⟨ A ^ ′ ψ , B ^ ′ ψ ⟩ | 2 ≥ | I m ⟨ A ^ ′ ψ , B ^ ′ ψ ⟩ | 2 ≥ 1 4 | ⟨ A ^ ′ ψ , B ^ ′ ψ ⟩ − ⟨ B ^ ′ ψ , A ^ ′ ψ ⟩ | 2 {\displaystyle (\Delta _{\psi }{\hat {A}})^{2}(\Delta _{\psi }{\hat {B}})^{2}=\|{\hat {A}}'\psi \|^{2}\|{\hat {B}}'\psi \|^{2}\geq |\langle {\hat {A}}'\psi ,{\hat {B}}'\psi \rangle |^{2}\geq |\mathrm {Im} \langle {\hat {A}}'\psi ,{\hat {B}}'\psi \rangle |^{2}\geq {\frac {1}{4}}|\langle {\hat {A}}'\psi ,{\hat {B}}'\psi \rangle -\langle {\hat {B}}'\psi ,{\hat {A}}'\psi \rangle |^{2}} A ^ ′ B ^ ′ ψ {\displaystyle {\hat {A}}'{\hat {B}}'\psi } 、 B ^ ′ A ^ ′ ψ {\displaystyle {\hat {B}}'{\hat {A}}'\psi } が定義可能であったので、 ⟨ A ^ ′ ψ , B ^ ′ ψ ⟩ − ⟨ B ^ ′ ψ , A ^ ′ ψ ⟩ = ⟨ ψ , A ^ ′ B ^ ′ ψ ⟩ − ⟨ ψ , B ^ ′ A ^ ′ ψ ⟩ = ⟨ ψ , [ A ^ ′ , B ^ ′ ] ψ ⟩ {\displaystyle \langle {\hat {A}}'\psi ,{\hat {B}}'\psi \rangle -\langle {\hat {B}}'\psi ,{\hat {A}}'\psi \rangle =\langle \psi ,{\hat {A}}'{\hat {B}}'\psi \rangle -\langle \psi ,{\hat {B}}'{\hat {A}}'\psi \rangle =\langle \psi ,[{\hat {A}}',{\hat {B}}']\psi \rangle } 単位行列Iは全ての作用素と可換なので、 [ A ^ ′ , B ^ ′ ] = [ A ^ − ⟨ A ^ ⟩ ψ I , B ^ − ⟨ B ^ ⟩ ψ I ] = [ A ^ , B ^ ] {\displaystyle [{\hat {A}}',{\hat {B}}']=[{\hat {A}}-\langle {\hat {A}}\rangle _{\psi }I,{\hat {B}}-\langle {\hat {B}}\rangle _{\psi }I]=[{\hat {A}},{\hat {B}}]} よってロバートソンの不等式が証明された。
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