ランベルト・ベールの法則の例。Rhodamine 6Bの溶液中の緑色レーザー光。光線は溶液中を進むにつれて弱くなる。 ランベルト・ベールの法則 (ランベルト・ベールのほうそく、英 : Lambert–Beer law 、英語 ではBeer–Lambert law、Beer–Lambert–Bouguer law、または単にBeer's lawと呼ばれるものも同じ意味)は光 の物質 による吸収 を定式化した法則 である[1] 。法則名はヨハン・ハインリヒ・ランベルト 、アウグスト・ベーア 、ピエール・ブーゲ に由来する。
公式 媒質 に入射する前の光の強度 (放射照度 )を I 0 {\displaystyle I_{0}} 、長さ l {\displaystyle l} の媒質を透過した後の光の強度を I 1 {\displaystyle I_{1}} としたとき、吸光度 A {\displaystyle A} は以下のようになる[2] 。
A = − log 10 ( I 1 I 0 ) = E C l = ϵ c l {\displaystyle A=-{\log _{10}}\left({\frac {I_{1}}{I_{0}}}\right)=ECl={\epsilon }cl} ここで E {\displaystyle E} は比吸光度、 C {\displaystyle C} は媒質の質量対容量パーセント濃度、 ϵ {\displaystyle {\epsilon }} はモル吸光係数 、 c {\displaystyle c} は媒質のモル濃度 。
物理的な意味 光の吸収 とは、量子論 的に考えれば、分子 や原子 、イオン が光(電磁波)のエネルギー を用いてエネルギーの低い固有状態 からエネルギーの高い固有状態に遷移 することにより起こる現象である。
今、二つの固有状態(a、b ;エネルギーはそれぞれ E a , E b {\displaystyle {E_{a}},{E_{b}}} であり E a < E b {\displaystyle {E_{a}}<{E_{b}}} とする)のみをもつ分子を考える、それぞれの状態に単位体積あたり N a , N b {\displaystyle {N_{a}},{N_{b}}} 個の分子が存在すると考えると、この系 に光が入射したとき、 N b {\displaystyle {N_{b}}} の時間変化は媒質中の分光放射照度 ρ = I / c {\displaystyle {\rho }=I/c} (ここで、 c {\displaystyle c} は光速 )を用いて
d N b d t = − B b → a ρ N b + B a → b ρ N a {\displaystyle {\frac {dN_{b}}{dt}}=-B_{b\to a}\rho N_{b}+B_{a\to b}\rho N_{a}}
と表される。ここで、 B a → b , B b → a {\displaystyle B_{a\to b},B_{b\to a}} の単位は(光エネルギー/体積 時間)であり、それぞれアインシュタイン係数 を示す。これらは遷移ごとに決まる定数であり B a → b = B b → a = B a b {\displaystyle B_{a\to b}=B_{b\to a}=B_{ab}} と仮定すれば、
d N b d t = B a b ρ ( N a − N b ) {\displaystyle {\frac {dN_{b}}{dt}}=B_{ab}\rho (N_{a}-N_{b})}
となる。また ρ {\displaystyle {\rho }} は放射束 (フラックス )F を用いれば ρ = h ν F / c {\displaystyle {\rho }=h{\nu }F/c} (ここで、 h {\displaystyle h} はプランク定数 、 ν {\displaystyle {\nu }} は光の振動数 )と書けるので、
d N b d t = B a b h ν c F ( N a − N b ) = σ F ( N a − N b ) {\displaystyle {\frac {dN_{b}}{dt}}={\frac {B_{ab}h\nu }{c}}F(N_{a}-N_{b})={\sigma }F(N_{a}-N_{b})}
ここで σ {\displaystyle {\sigma }} の単位は面積 であり、吸収断面積 と呼ばれ、物理的にはあるフラックスの光が分子に吸収される有効的な面積をしめす。つまり、微小距離dx を仮定 したときに、dx を移動した後のフラックスの変化(単位面積あたりに吸収される光子 の数)は、
d F = − σ F ( N a − N b ) d x {\displaystyle dF=-{\sigma }F(N_{a}-N_{b})dx\,}
と表せる。上の式を光が媒質をとおる長さ L で定積分 すれば、
log e ( F 1 F 0 ) = − σ ( N a − N b ) L {\displaystyle {\log _{e}}\left({\frac {F_{1}}{F_{0}}}\right)=-{\sigma }(N_{a}-N_{b})L}
フラックスF は放射照度I を用いて F = c ρ / h ν = I / h ν {\displaystyle F=c{\rho }/h{\nu }=I/h{\nu }} より、
log 10 ( I 1 I 0 ) = − log 10 ( e ) σ ( N a − N b ) L {\displaystyle {\log _{10}}\left({\frac {I_{1}}{I_{0}}}\right)=-{\log _{10}}\left({e}\right){\sigma }(N_{a}-N_{b})L}
と書ける。これは定義の式と等価である。
脚注 ^ IUPAC , Compendium of Chemical Terminology , 2nd ed. (the "Gold Book") (1997). オンライン版: (2006-) "Beer–Lambert law (or Beer–Lambert–Bouguer law) ". ^ Atkins, P. W.『アトキンス 物理化学』 下、千原秀昭・中村亘男訳(第6版)、東京化学同人 、2001年、495頁。ISBN 4-8079-0530-9 。
関連