モース・ボットの理論
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/28 14:12 UTC 版)
モース函数の考え方は、非退化臨界点しか持たない多様体上の函数を考えることへと一般化することができる。モース・ボットの函数(Morse–Bott function)は、多様体上の滑らかな函数であって、臨界点の集合は閉じた多様体であり、法線の方向にヘッセ行列が非退化である。（同じことであるが、臨界点でのヘッセ行列の核は、臨界部分多様体への接空間に等しくなる。）モース函数は、臨界多様体が 0 次元のときの特別な場合である。（従って、臨界点でのヘッセ行列はすべての方向へ非退化、つまり、核を持たない。） 指数は、非常に自然に、ペア ( i − , i + ) , {\displaystyle (i_{-},i_{+}),} と考えることができる。ここに i− は、臨界多様体の与えられた点での不安定な多様体の次元であり、i+ は i− に臨界多様体の次元をプラスした次元である。モース・ボットの函数が、臨界軌跡上の小さな函数で摂動されると、摂動された函数の臨界多様体の上のすべての臨界点の指数は、i− と i+との間に存在することとなる。 モース・ボット函数は、元のモース函数が使いにくいので、役に立つ。モース・ボット函数は、可視化することができ、それを使い簡単に計算することができて、典型では対称性を持っている。それらは、正の次元の臨界モデルをもたらすことが多い。ラウル・ボット(Raoul Bott)は、モース・ボットの理論を使い、ボットの周期性定理（英語版）(Bott periodicity theorem)の証明に使用した。 ラウンド函数（英語版）(Round function)は、モース・ボット函数の例であり、そこでは臨界点の集合が円（非合併なユニオン）となる。 モースホモロジー（英語版）(Morse homology)はモース・ボット函数の定式化でもある。モース・ボットホモロジーの微分形式は、スペクトル系列(spectral sequence)により計算される。フレデリック・ブルジェオス(Frederic Bourgeois)は、シンプレクティック場の理論のモース・ボットのバージョンでの仕事の中でアプローチしたが、非常に解析的に難しいため公開されなかった。
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