メビウス群との関係性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/25 07:21 UTC 版)
「ローレンツ群」の記事における「メビウス群との関係性」の解説
制限ローレンツ群 SO+(1, 3) は射影線型群 PSL(2, C) と同型であり、これはさらにメビウス群、リーマン球面上の共形幾何（英語版）の対称操作群（英語版）と同型である（この知識は、ロジャー・ペンローズによってツイスター理論の出発点として用いられている）。 このことは、リー群 SL(2, C) から SO+(1, 3) へのスピノル写像と呼ばれる全射準同型写像を構築することで示すことができる。これは、次のように進められる。 ミンコフスキー時空上の SL(2, C) の作用を、時空上の点を次の形の 2×2 エルミート行列で表すことによって定義することができる。 X = [ t + z x − i y x + i y t − z ] . {\displaystyle X={\begin{bmatrix}t+z&x-iy\\x+iy&t-z\end{bmatrix}}.} この表現は次の好ましい性質を持っている。 det X = t 2 − x 2 − y 2 − z 2 . {\displaystyle \det \,X=t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}.} したがって、エルミート行列の張る空間（実ベクトル空間としては四次元空間）を、行列式をミンコフスキー時空上の距離の自乗と考えることによって、ミンコフスキー時空と同一視することができる。SL(2, C) はエルミート行列に対して以下のように作用する。 X ↦ P X P ∗ . {\displaystyle X\mapsto PXP^{*}.} ここで P ∗ {\displaystyle P^{*}} は P {\displaystyle P} のエルミート転置であり、この作用は行列式を保存する。したがって、SL(2, C) はミンコフスキー時空に（線形）等長に作用する。これにより、 SL(2, C) からローレンツ群 SO+(1, 3) への写像を定義することができ、この写像は明らかに準同型写像である。これがスピノル写像である。 スピノル写像の核は二元 ±I からなる部分群であり、この写像は全射である。第一同型定理により、商群 PSL(2, C) = SL(2, C) / {±I} は SO+(1, 3) と同型である。
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