ミンコフスキー空間
ミンコフスキー計量
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2020/04/05 14:25 UTC 版)
「ミンコフスキー空間」の記事における「ミンコフスキー計量」の解説
直積空間としての (m,n)-型のミンコフスキー空間 Mm,n = Em×En におけるミンコフスキー計量 η(m,n) は、ユークリッド空間 Em, En におけるユークリッド計量を d(m), d(n) として η ( m , n ) ( V , W ) = d ( m ) ( V ( m ) , W ( m ) ) − d ( n ) ( V ( n ) , W ( n ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}\eta _{(m,n)}(V,W)=&~d_{(m)}(V_{(m)},W_{(m)})\\&-d_{(n)}(V_{(n)},W_{(n)})\end{aligned}}} で与えられる。また、V のノルムは V 2 = η ( m , n ) ( V , V ) = d ( m ) ( V ( m ) , V ( m ) ) − d ( n ) ( V ( n ) , V ( n ) ) = ( V ( m ) ) 2 − ( V ( n ) ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}V^{2}&=\eta _{(m,n)}(V,V)\\&=d_{(m)}(V_{(m)},V_{(m)})-d_{(n)}(V_{(n)},V_{(n)})\\&=(V_{(m)})^{2}-(V_{(n)})^{2}\end{aligned}}} となる。特に V = (0(m), V(n)) ∈ M(m,n) と選ぶと V 2 = ( 0 ( m ) ) 2 − ( V ( n ) ) 2 = − ( V ( n ) ) 2 {\displaystyle V^{2}=(\mathbf {0} _{(m)})^{2}-(V_{(n)})^{2}=-(V_{(n)})^{2}} となり、ユークリッド計量の正定値性から、このノルムは負となる。すなわち、ミンコフスキー計量は不定計量である。
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