ヘルダー空間のコンパクトな埋め込み
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/08/09 22:39 UTC 版)
「ヘルダー条件」の記事における「ヘルダー空間のコンパクトな埋め込み」の解説
Ω をあるユークリッド空間（あるいはより一般に、全有界な距離空間）の有界部分集合とし、0 < α < β ≤ 1 を二つのヘルダー指数とする。このとき、対応するヘルダー空間には次の明らかな包含が存在する： C 0 , β ( Ω ) → C 0 , α ( Ω ) . {\displaystyle C^{0,\beta }(\Omega )\to C^{0,\alpha }(\Omega ).} ヘルダーノルムの定義より、C0,β(Ω) 内のすべての f に対して、不等式 | f | 0 , α , Ω ≤ d i a m ( Ω ) β − α | f | 0 , β , Ω {\displaystyle |f|_{0,\alpha ,\Omega }\leq \mathrm {diam} (\Omega )^{\beta -\alpha }|f|_{0,\beta ,\Omega }} が成り立つため、この包含は連続である。さらにこの包含は、‖ · ‖0,β ノルムにおける有界集合が ‖ · ‖0,α ノルムにおいて相対コンパクトであるという意味で、コンパクトである。これはアスコリ＝アルツェラの定理の直接的な帰結である。実際、(un) を C0,β(Ω) 内のある有界列とすると、アスコリ＝アルツェラの定理より、一般性を失うことなく一様収束 un → u と u = 0 を仮定できる。すると、 | u n ( x ) − u n ( y ) | | x − y | α ≤ ( | u n ( x ) − u n ( y ) | | x − y | β ) α / β | u n ( x ) − u n ( y ) | 1 − α / β ≤ | u n | 0 , β β / α ( 2 ‖ u n ‖ ∞ ) 1 − α / β = o ( 1 ) {\displaystyle {\frac {|u_{n}(x)-u_{n}(y)|}{|x-y|^{\alpha }}}\leq \left({\frac {|u_{n}(x)-u_{n}(y)|}{|x-y|^{\beta }}}\right)^{\alpha /\beta }|u_{n}(x)-u_{n}(y)|^{1-\alpha /\beta }\leq |u_{n}|_{0,\beta }^{\beta /\alpha }\,\left(2\|u_{n}\|_{\infty }\right)^{1-\alpha /\beta }=o(1)} であるために、 | u n − u | 0 , α = | u n | 0 , α → 0 {\displaystyle |u_{n}-u|_{0,\alpha }=|u_{n}|_{0,\alpha }\to 0} が成り立つ。
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