ヘルダー条件
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出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2019/08/09 22:39 UTC 版)
数学において、d 次元ユークリッド空間上の実あるいは複素数値函数 f がヘルダー条件(ヘルダーじょうけん、英: Hölder condition)を満たす、あるいはヘルダー連続であるとは、f の定義域内のすべての点 x と y に対して次の不等式を満たす非負の実定数 C, α が存在することを言う。
- ^ 例えば Han and Lin, Chapter 3, Section 1 を参照。この結果はもともと Sergio Campanato によるものであった。
- 1 ヘルダー条件とは
- 2 ヘルダー条件の概要
- 3 例
- 4 性質
- 5 参考文献
ヘルダー空間
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ヘルダー条件を満たす函数からなるヘルダー空間は、偏微分方程式の解法に関連して函数解析学の分野や、力学系の分野において基本的な概念である。あるユークリッド空間の開部分集合 Ω と非負の整数 k ≥ 0 に対するヘルダー空間 Ck,α(Ω) は、Ω 上高々 k 階までの連続な導函数を持ち、k 階偏導函数が 0 < α ≤ 1 を満たす指数 α に対してヘルダー連続であるような函数からなる。この空間は局所凸位相線型空間である。ヘルダー係数 | f | C 0 , α = sup x ≠ y ∈ Ω | f ( x ) − f ( y ) | | x − y | α , {\displaystyle |f|_{C^{0,\alpha }}=\sup _{x\neq y\in \Omega }{\frac {|f(x)-f(y)|}{|x-y|^{\alpha }}},} が有限であるなら、函数 f は「Ω において指数 α で一様ヘルダー連続」と言われる。この場合、ヘルダー係数は半ノルムを与える。ヘルダー係数が単純に Ω のコンパクトな部分集合上で有界であるだけなら、函数 f は「Ω において指数 α で局所ヘルダー連続」と言われる。 函数 f と、その高々 k 階までの導函数が Ω の閉包上で有界であるなら、ヘルダー空間 C k , α ( Ω ¯ ) {\displaystyle C^{k,\alpha }({\overline {\Omega }})} には次のノルムが与えられる。 ‖ f ‖ C k , α = ‖ f ‖ C k + max | β | = k | D β f | C 0 , α {\displaystyle \|f\|_{C^{k,\alpha }}=\|f\|_{C^{k}}+\max _{|\beta |=k}\left|D^{\beta }f\right|_{C^{0,\alpha }}} ここで β は多重指数について変化し、 ‖ f ‖ C k = max | β | ≤ k sup x ∈ Ω | D β f ( x ) | {\displaystyle \|f\|_{C^{k}}=\max _{|\beta |\leq k}\sup _{x\in \Omega }\left|D^{\beta }f(x)\right|} である。これらのノルムと半ノルムは単純に | f | 0 , α {\displaystyle |f|_{0,\alpha }} と ‖ f ‖ k , α {\displaystyle \|f\|_{k,\alpha }} 、あるいは f の定義域への依存性を強調するために | f | 0 , α , Ω {\displaystyle |f|_{0,\alpha ,\Omega }\;} と ‖ f ‖ k , α , Ω {\displaystyle \|f\|_{k,\alpha ,\Omega }} のように表記される。Ω が開かつ有界であるなら、 C k , α ( Ω ¯ ) {\displaystyle C^{k,\alpha }({\overline {\Omega }})} はノルム ‖ ⋅ ‖ C k , α {\displaystyle \|\cdot \|_{C^{k,\alpha }}} に関してバナッハ空間となる。
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