フラグメン–リンデレーフの指示函数

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フラグメン–リンデレーフの指示函数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/16 01:57 UTC 版)

「整関数」の記事における「フラグメン–リンデレーフの指示函数」の解説

有限増大度整函数の増大度 ρ の定義とフラグメン–リンデレーフの原理の示唆するところにより、ひとつの半直線上の増大はその近傍にある直線上のそれに影響されるのだから、函数 h ( θ ) = lim sup r → ∞ ln ⁡ | f ( r e i θ ) | r ρ ( θ ∈ [ − π , π ] ) を調べることには意義がある。この函数 h(θ) をフラグメン–リンデレーフの指示函数と呼ぶ。この函数は周期が 2π の周期函数で、実数値以外に −∞ または +∞ も値として取りうる。これに関して f は増大度 ρ の整函数で、h(θ) は上記の指示函数とする。h が閉区間 [a, b] 上有限ならば、任意の ε0 に対し r0 = r0(ε) が存在して、r > r0 ならば必ず ln ⁡ | f ( r e i θ ) | < r ρ ( h ( θ ) + ϵ ) {\displaystyle \ln \left|f(re^{i\theta })\right| 0 となる任意の小区間は π/ρ より大きい長さを持ち、h(θ) < 0 となる任意の小区間の長さは π/ρ 以下である。さらに言えば、h(θ) < 0 となる任意の小区間は h(θ) = 0 なる点と h(θ)> 0 となる任意の区間から得られる。 「整函数が可算集合上でとる値から一意に決定されることが保証される条件はあるか」という問いは自然である。集合をこのように制限しない場合には、この問いはアプリオリに否決されるものと思われ、実際成り立たないことが示せる。この種の問いにおいて、カールソンの結果は tout un pan de recherche に起源を持つ。それは以下のように述べられる: 定理 (Carlson) 増大度 1 かつ型 σf < π の整函数 f は n = 1, 2, … に対する函数値 f(n) によって完全に決定される。さらに言えば、型が ln 2 よりも真に小さいならば f ( z ) = ∑ n = 0 ∞ z ( z − 1 ) … ( z − n + 1 ) n ! ( Δ n f ) ( 0 ) {\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{{\frac {z(z-1)\ldots (z-n+1)}{n!}}(\Delta ^{n}f)(0)}} と書ける。 証明にはフラグメン–リンデレーフの指示函数を用いる。